HPM与小学数学教师专业成长

◇岳增成

HPM与小学数学教师专业成长

◇岳增成

随着数学史的教育价值在数学教学中的逐渐显现，HPM（History and Pedagogy of Mathematics，数学史与数学教学）越来越受到人们重视，在德国汉堡举行的ICME-13上，甚至设置了两个主题讨论组TSG24和TSG25来介绍这方面的成果。但是小学阶段的成果并不多见，国内的研究也证实了这一点。比如，2016年7月全国数学教育研究会在武汉召开的国际学术年会上，汪晓勤教授的团队所作的题为“数学史融入中小学数学教学的实践与案例”的报告指出，小学HPM 是一个亟待开拓的领域。那么HPM 在小学中的应用情况真的是这样吗？如果是，小学数学教师的数学史素养是否有待提高？

在回答上述两个问题的基础上，本文将进一步介绍ICME-13上希腊学者瓦西利基·恰帕斯（Vasiliki Tsiapou ）的报告“刘徽与希腊小学生分享他的数学观点”[1]，希望从她的报告中得到提高小学数学教师数学史素养的启示，最后利用一个个案来看一下如何提高我国小学数学教师的数学史素养。

一、来自文献研究与问卷调查的现状剖析

1.数学史在小学课堂中的使用情况。

通过中国知网检索发现，2016年6月之前与小学HPM 有关的文章共有86篇，涉及数学史的教育价值与如何将数学史融入课堂教学、HPM 视角下的教学设计与教学案例等5个主题，其中HPM 视角下的4个教学设计和12个教学案例与教学实践的联系最为密切，也最能反映数学史在一线教学中的运用情况与运用水平。从教学设计与教学案例的数量上看，数学史在小学课堂中的应用相当少。借用汪晓勤教授对数学史融入数学教学的附加式、复制式、顺应式、重构式等4种方式[2]对教学设计与教学案例进一步分析发现，有11个仅运用了一种方式，其中3个运用了附加式，8个运用了重构式，其余5个运用了附加式和重构式两种方式，可见，小学数学教师运用数学史的方式不够多元。以国内某重点师范大学在职数学教育硕士为研究对象，通过问卷调查发现平均教龄为4.25年，来自上海、杭州、苏州、温州、珠海、芜湖、厦门等地的24名小学数学教师中，仅有3人所在学校的教研活动中有对数学史内容的讨论，尽管有11人所在的学校中有教师将数学史融入了数学教学，但这样的教师并不多见，且将数学史融入的主题有限。这些进一步印证了数学史在小学教学一线运用得不够普遍且运用程度不高的现状。

2.我国小学数学教师数学史素养现状。

在上述24名被调查对象中，有4人在工作之前选修过与数学史相关的课程，仅有1人在在职培训中学习过与数学史有关的课程，有4人阅读过与数学史有关的论文或书籍，可见，被调查对象的数学史知识储备不足。在对学生的数学史教育价值的认识方面：在相关的34条叙述中，没有人提到方法之美、探究之乐等教育价值，在提到的知识之谐、能力之助、文化之魅、德育之效中，教师更多地强调德育之效与能力之助。（具体见表1）可见，被调查对象对数学史的教育价值认识不够全面，且侧重点存在较大差异。这恰恰反映出我国小学数学教师数学史素养不高的现状，也反映出提高小学数学教师数学史素养的迫切性。

表1小学数学教师对数学史教育价值的认识

二、来自希腊学者的报告

希腊学者恰帕斯具有小学数学教师与高校研究者的双重身份。在日常的教学中，她发现学生的数学观存在问题。为了改善学生的数学观，恰帕斯将目光投向了数学史，而学生对数学史的学习恰恰能达到这一目的。因此，通过对历史素材的精当选取、教学活动的精心设置及研究方法的恰当运用，恰帕斯的教学实验取得了相当不错的效果。以下是对该报告的述评。

1.将数学史融入小学数学课堂的原因与目的。

很多学生对数学持有柏拉图式的观点（认为数学是静态的、一成不变的、与历史无关的）和工具性观点（认为数学是法则和程序的集合），显然这样的数学观是不完美的。我们期望学生有一个动态的数学观，即将数学视为历史演变和不断进化的人类探索的学科，而原始素材恰好具有提升这一动态观点的潜质。因此，恰帕斯试图通过将历史文本融入课堂教学的干预实验，达到促进数学学习、形成有关数学本质的多种观点、欣赏数学作为文化传承的目的。

恰帕斯选择了以下三段素材，作为培养学生动态数学观的教学材料。

（1）成书于公元1世纪的《九章算术》中的“问题1.32”，此问题在探寻计算圆形土地的面积时，假定圆周率为3。

（2）公元3世纪具有创造性的中国古代数学家刘徽对上述问题的注释。他从圆内接正六边形开始，通过不断加倍多边形的边数，得到了一个面积等于（圆周长）×（直径）的正多边形，并通过计算得到圆周率在3.141024与3.142704之间。他在注释的结尾对假定圆周率为3这一错误评价道：世代传用这种方法，不肯精确地核验；学者跟随着古人的脚步，沿袭他们的谬误。如果没有明晰的证明，辩论这个问题就很困难。

（3）刘徽对数学与教育事业看法的节选：各种事物按照它们的类别相互推求，分别有自己的归宿。所以，它们的枝条虽然分离而具有同一个本干的原因就在于都来源于一个端。如果用言辞表述对原理的分析，用图形表示对事物的分解，那差不多就会使其简约而周密，通达而不烦琐，让阅读的人理解其大半的内容。

2.理论基础。

社会文化理论将数学视为文化的产物，所以数学学习是建立在与文化背景的社会互动、社会文化产物的语义修正之上的内化过程。师生之间的社会互动包含具有个性色彩的口头、书面产物。恰帕斯采用了他人关于社会文化产物的分类：一类是物理、多媒体工具，另一类是在知识保存与传承中产生及使用的语言。任何文化产物都具有潜在的语义性，只要它能促使学生从个性化语言中产生元数学语言（介于一般语言与规范的数学语言之间的一般数学语言，是小学阶段学生学习的主要内容）。数学史料作为第二类文化产物，可以进入史料作者与学生的对话当中，因此也就有了语义学的意义。但是为了解释清楚，需要将这些史料背后的文化背景揭示出来。学生也不可能不通过元数学语言的学习而直接进入规范数学语言的学习。所以，让学生讨论数学及相关的史料可以帮助他们巩固元数学语言。

3.程序。

干预实验在塞萨洛尼基一所公立城市小学的数学、信息技术课堂及专门的项目开发时段中开展，每周两次，持续两个月，参与对象是14名六年级的学生。干预运用间接策略，即呈现历史作者及作者生活年代的文化背景素材。比如，数学知识和检验体系的传承，刘徽所处的三国时代的政治动荡，《九章算术》囊括问题的类型及它对中国数学的影响，刘徽在《九章算术》中对术的注释，特别是对“问题1.32”的注释。

对前面素材的分析分三个阶段进行：（1）阅读第一段素材；（2）对第二段素材进行阅读、分析与探索；（3）将前两个阶段与引导性的展示联系起来，从而将过去的片段结合起来形成对整体的全局性理解。图1与图2是分析过程中的两个操作性活动成果，其中图1展示的是学生梳理出的“哲学卡片”概念图，它由很多哲学卡片组成，每一个卡片包括图片及来自二手资源的简要信息，卡片之间存在顺序与内在关联。两个主要的目标支撑着这些内容：让学生意识到文化和历史因素对数学实践的影响，认可通过诉诸理论和运用表征证明一个数学论断的价值。为了达到第一个目标，学生被告知中国汉代传统的儒学学校是怎样影响社会，进而影响数学家工作的，道教的社会等级分类是怎样被汉代统治者和学者用以合法化君王权威的。相反的，公元3世纪，中国进入政治动荡、社会秩序崩溃、正统信仰衰微的时期，这恰恰促进了自由的、不受禁锢的思想的发展，数学进入了理论时期。在这样的背景下，刘徽自如地检验先辈得出的结论。参照二手资源，学生试图说明刘徽痛斥因为对先辈推理的依赖而不情愿为精确性去奋斗的片段。为了达到第二个目标，学生必须解释刘徽所说的“如果没有明晰的证明，辩论这个问题就很困难”这一观点，在参与历史证明的过程中反思自己的数学实践。图2“数学树”活动以刘徽“树”的数学概念为依据。在郭书春重构的刘徽“树”的希腊版本的帮助下，学生首先绘制了在他们证明期间使用的、他们列举的、看似与刘徽“树”相关的数学领域，然后用他们使用过的各个数学领域制作卡片，图2中左侧的卡片是几何领域的分支，图2中右侧的卡片是算术与代数领域，所有的都与实验过程中的例子相联系。最后，学生组合成这棵“数学树”，并用粉笔画出了箭头，以此来展示各个卡片之间的关联。

图1“哲学卡片”概念图

图2“数学树”活动

4.结果与讨论。

恰帕斯运用类型多样的前后测题目来说明这一干预实验对学生的影响。比如，对于“知道一个几何公式并将其应用于一个问题就足够了”这一观点，在前测中仅有4人不同意，而在后测中，10人有了正向的转变。在“你是否相信数学是一成不变的”这一开放题的前测中，7人回答不知道；3人同意但没有解释或采用柏拉图式的观点，如“是的，数学需要逻辑，这需要稳定的观点”；仅有4人认为数学是一门进化的学科，如“不是的，因为人们逐渐地而不是直接地思考数学”。在后测中，有2人趋向动态的观点，其解释见表2。由此恰帕斯总结道：“前后测的对比结果表明，干预后很多学生从持有柏拉图式的数学观和工具性数学观转向了动态数学观”“但是许多学生的回答自相矛盾，一方面，当他们判断他们个人参与数学活动的过程中接触到的观点时，他们表达出工具性观点；另一方面，当他们判断本质上更抽象的观点，如关于数学发展的原因时，他们采用动态数学观：历史的整体情感影响多少有些模糊，即使是为人人所称赞的数学与历史的结合，当被问及这项干预最有趣的部分时，很少有人提及历史方面”。

表2持动态数学观的学生对否定“数学一成不变”的解释

最后，恰帕斯探讨了小学水平的原始资料的益处与障碍。毫无疑问，对教师而言，将历史文本融入日常的数学教学中既有益处又有障碍，特别是在障碍方面，因为对原始素材的分析需要运用解释学的方法。恰帕斯借用了解释学的素材分析方法，即解析素材，提出问题，总结、定位仍然需要澄清的问题。同时她指出，为了更好地将数学史融入课堂教学，需要加强学科内容知识与学科教学知识的融合。对学生而言，有一个好处就是因为摆脱了书面测试带来的焦虑，所以他们为能在小组项目、口头讨论和展示中展现聪明才智而感到自由。当然，由于评价方式的转变，在干预过程中，学生也遇到了一些问题。对整个干预实验而言，小样本的确是一个问题，但是作者正计划通过提供教与学过程的细节性描述来避免作普遍性推广。另外，并不是所有的历史素材在小学阶段都适合，发现并分析这样的文本对教师和其他教育研究者而言是一个好的合作起点。但是恰帕斯也不得不承认试图通过实施短期干预而达到对数学多样观点的发展是不现实的。要达到预期的效果，一个建议就是在小学课程中融入历史项目，以及教师之间通过实施相同的项目来交换经验和获得反馈的合作。报告的结尾，恰帕斯总结道：“总之，这一干预实验为学生转变数学观播下了种子。”

5.对报告的评价。

为了改变学生的数学观，恰帕斯借用中国古代历史素材实施了她的教学干预，学生感悟到了知识之谐、方法之美、能力之助、探究之乐、文化之魅、德育之效，特别是图1、图2分析结果的呈现，着实令人惊叹。那么，是什么使得数学史融入的教学取得了如此好的效果？这与恰帕斯较高的数学史素养密不可分：一方面，尽管她对中国古代的历史文化乃至数学成就知之甚少，但是通过教育取向的数学史研究，通过运用解释学的素材分析方法，她获得了对数学史料的深刻认识，进而选取出合适的数学史素材应用于教学；另一方面，在教学过程中，她能够利用社会文化理论引导学生分阶段对历史素材进行语义修正，从而帮助学生内化这些素材，获得对素材的理解，从而实现数学观的转变。

三、来自上海小学数学教师专业成长的个案研究

采用恰帕斯的方法来提高我国数学教师的数学史素养是不现实的（比如，花费大量的课堂时间用于讲授看似与数学学习无关的历史文化背景，以达到改善学生数学观的目的），但是她的经验为提高我国数学教师的数学史素养提供了很好的启示。那么，该采用什么样的方式提高我国数学教师的数学史素养呢？无疑尝试HPM视角下的案例教学是促进教师自身数学史素养提高的重要途径。下面简述一下“角”的案例开发对上海某小学数学教师L思想观念转变的影响。

L毕业于某工程大学的非师范专业，已有3年工作经验，在以往的教学中，她从未尝试将数学史融入课堂教学中。在案例开发前，她持有绝对主义的数学观，认为数学是一门非常理性且具有逻辑性的学科，因此在教学中也要具有理性和逻辑性，要以严谨、科学的态度对待数学，同时她认为数学史是可有可无的课堂点缀物。但在“角”的案例开发过程中（具体流程见图3），在经历了4个阶段的教学设计修改、4次磨课后，L的知识发生了一些改变。比如，L的HCK[水平内容知识，指对整个数学课程中数学主题之间的联系的了解，它是MKT（为了教学的数学知识）的重要组成部分，MKT是用以分析数学教师知识的重要框架]发生了较大的改变。与“角”相关的HCK包括特殊角的认识、三角形的分类、角的动态定义等。对于后两者，授课后L已有比较深刻的认识，特别是在教授三角形的分类时，L能够从三角形三个内角关系的独特性对三角形进行分类、定义，并让学生探究这一过程。但对于特殊角（平角、周角等）的认识，L没有意识到“学生不认同平角也是角与学生没有学习过射线有密切关联”。通过案例研究，L的信念也发生了一些改变。比如，在认识到历史相似性的存在后，她意识到学生犯错误是一件正常的事情，因此更加包容学生，更能从学生的角度思考问题。设计教学活动时，她也不再视数学史为可有可无的课堂点缀，而是将数学史看作小学数学教学不可或缺的组成部分。

图3HPM教学设计、实施、评价与案例写作

四、结语

尽管希腊与中国的数学教育传统不同，希腊学者与我们的研究范式也不尽相同，但在HPM与数学教育领域，我们有很多共识。特别地，恰帕斯提到的教育取向的数学史研究、合作、教师专业发展，也是解决目前数学史在小学课堂中运用不够普遍且运用程度不高等问题最重要的途径。因此，我们不妨通过案例开发，以教育取向的数学史研究为出发点，通过教师、HPM专家、教研员及他们之间的合作，在实现数学教育价值的同时，促进教师的专业成长，以汪晓勤教授提到的“五个一”，即一门课程、一个论坛、一种模式、一批案例、一个团队，让HPM在小学生根、发芽、开花、结果。[2]

[1]VasilikiTsiapou.LIUHUISHARESHIS VIEWS ABOUT MATHEMATICS WITH STUDENTS OF A GREEK PRIMARY SCHOOL[R].汉堡：2016（第13届国际数学教育大会报告）.

[2]汪晓勤.HPM的若干研究与展望[J].中学数学月刊，2012（2）.

（作者单位：华东师范大学数学系）