一维量子线中量子比特的性质

赵丽丽， 赵翠兰

（1.赤峰学院 计算机科学与技术学院， 内蒙古 赤峰 024000；2.内蒙古民族大学 物理与电子信息学院,内蒙古 通辽 028043）

一维量子线中量子比特的性质

赵丽丽1， 赵翠兰2

（1.赤峰学院 计算机科学与技术学院， 内蒙古 赤峰 024000；2.内蒙古民族大学 物理与电子信息学院,内蒙古 通辽 028043）

本文通过精确求解一维有限长量子线中电子的能量本征方程，得到其能量本征值和本征波函数，利用基态和与之宇称相同的最低激发态构造了一个量子比特，研究了低能态性质和量子比特的性质.理论推导与数值计算表明：电子能量随量子线长度的增大而减小；量子比特的振荡周期（或频率）随量子线长度的增大而减小（或增大）；量子比特内电子的概率密度随时间和空间变化，给定时刻各空间点的概率密度随位置的变化而变化；且各空间点的概率均随时间做周期性振荡.

量子线； 量子信息； 量子比特

1 引言

量子力学作为二十世纪的重大理论发现，在现今的科学技术进步中发挥着愈来愈重要的作用，量子态的纠缠性、非局限性等奇妙特性已成为宝贵的物理资源，开始被人们利用.特别是近 20年来的量子力学的新进展开辟了其广阔的应用领域，在诸多的应用领域中首当其冲的是信息科学，把量子理论应用于信息领域就开创了量子信息论这门学科，它涉及到物理学、计算机科学和信息科学等领域，主要包括量子计算和量子通讯两大部分.量子信息论中的信息单元是量子比特(qubit)，它是两个量子态 |0〉和 |1〉的相干叠加态 .为了实现 量子 计算，近 年来人们提 出了各种 方 案[1—4]，对量子比特进行了诸多研究，李树深等[5]提出了利用外加电场来增加量子点量子比特消相干时间的方案；高宽云等[6]和姜福仕等[7]利用求解能量本征方程与变分相结合的方法研究了量子环中量子比特的性质及声子效应.

本文拟研究一维有限长量子线中电子的能量状态，进而研究其量子比特的性质.

2 理论计算

其中

则粒子的能量本征方程为

其中 ψ(x)、E 分别为能量本征函数和本征值.参考[8]解得，电子的能量本征值为

能量本征函数为

或

体系的基态能量为

相应的本征波函数为

目前，基础工业工程课程教学多以理论授课为主，偶有一些应用案例分析，教学中普遍存在着教材案例陈旧、学生对教学的参与度少和对课程的重要性认识肤浅等问题。

与基态具有相同宇称的最低激发态能量为

相应的本征波函数为

以 ψ1(x)和 ψ3(x)为基础构造一个量子比特

则量子比特内电子的空间概率密度分布为

量子比特的振荡周期为

3 结果和讨论

为清楚的看出电子能量以及量子比特的性质，长度取Bohr半径 a0为单位，能量取为单位进行数值计算，计算结果示于图1至图3中.

图1表示粒子基态能量和第二激发态能量随量子线长度的变化关系.可见，能量随量子线长度的增大而减小，显示出明显的量子尺寸效应.从图中还可以看出两能级差随量子线长度的增大而减小.

图1 能量 E1,E3随量子线长度 l的变化规律

图2 振荡频率ω随量子线长度l的变化规律

图2表示振荡频率随量子线长度的变化关系.由图可见，振荡频率随量子线长度的增大而减小，结合图 1 我们知道其产生原因是因为随着量子线长度的增大，基态和激发态能量降低，能级差减小，导致量子比特的振荡周期减小.由关系式（14）和图 2 还可以知道，量子比特的振荡周期随量子线长度的增大而增大.

图3 表示概率密度随空间位置和时间的变化关系.图中四条曲线 Qt=0、Qt=T/4、Qt=T/2、Qt=3T/4分别对应于计时起点、四分之一、二分之一和四分之三周期的时刻.由图中的任意一条曲线可见，给定时刻，量子比特内电子的概率密度随空间位置的变化而变化，在线的端点电子出现的概率为零，在线的中间位置电子出现的概率最大，其余位置出现的概率介于最大和最小之间；且电子在各个空间点出现的概率均随时间做周期性振荡，各空间点振动周期相同.

图3 l=10 时，概率密度 Q 随位置 x 的变化规律

4 结论

本文通过精确求解一维有限长量子线中电子的能量本征方程，研究了量子线中电子的低能态性质和量子比特的性质.结果表明：电子能量随量子线长度的增大而减小，显示出明显的量子尺寸效应；量子比特的振荡周期（或频率）随量子线长度的增大而减小（或增大）；量子比特内电子的概率密度随空间点的不同而不同，且各空间点的概率密度均随时间做周期性振荡.

〔1〕Cirac J I,Zoller P.Quantum computations with cold trapped Ions[J].Phys Rev Lett,1995,74：4091.

〔2〕Chuang IL,Gershenfeld N A,Kubinec M.Experimental implementation of fast quantum searching[J].Phys Rev Lett,1998,80：3408.

〔3〕Turchette Q A,Hood C J,Lange W,etal.Measurement of conditional phase shifts for quantum logic[J].Phys Rev Lett,1995,75：4710.

〔4〕Loss D,DiVincenzo D P.Quantum computation with quantum dots[J].Phys Rev A,1998,57：120..

〔5〕Li S S， Xia J B，Yang F H，et al.InAs/GaAs Singleelectron quantum dot qubit[J].J Appl Phys， 2001，90：11847.

〔6〕高宽云，赵翠兰.量子环中量子比特的性质[J].物理学报，2008，57（7）：4446..

〔7〕姜福仕,赵翠兰.量子环中量子比特的声子效应[J].物理学报，2009，58（10）：6786.

〔8〕周世勋.量子力学教程[M].北京：高等教育出版社,1979.

O471.1

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：1673-260X（2016）02-0015-02

2015 年 11 月 8 日