基于多输入多输出雷达发射方向图综合的波形设计

黄中瑞，周青松，张剑云

（电子工程学院，安徽合肥230037）

基于多输入多输出雷达发射方向图综合的波形设计

黄中瑞，周青松，张剑云

（电子工程学院，安徽合肥230037）

针对多输入多输出（MIMO）雷达发射方向图匹配时阵元功率不均匀和发射波形存在较高峰均比等缺点，提出了一种新的MIMO雷达发射方向图综合方法。构造一组基矩阵，将协方差矩阵的求解等效为基矩阵系数的寻优问题，在简化寻优模型的基础上进一步将其转化为一个凸优化问题，以便采用原对偶内点算法进行有效求解；在基矩阵中引入单位矩阵，以保证发射阵元满足等功率辐射要求，同时将尺度因子作为变量进行联合寻优，克服优化方向图对期望波束模值的依赖，解决二者增益不匹配引起优化误差变大的问题；在得到发射波形的协方差矩阵后，利用矩阵分解和交替迭代法设计发射波形，每次迭代过程中利用凸优化理论对发射波形的模值上界进行严格约束，有效减小发射波形的峰均比。仿真实验表明，合成的发射方向图在有效地逼近期望波束的同时大大降低了发射波形的峰均比。

雷达工程；多输入多输出雷达；发射方向图综合；波形设计；峰均比；模值约束；凸优化

0 引言

多输入多输出（MIMO）雷达是近年来提出的一种新体制雷达［1］。MIMO雷达的每个阵元可以独立发射波形，因而具有更高的自由度［2-3］，同等阵元配置条件下与相控阵雷达相比，可以辨识更多的目标［4］。阵元独立发射波形是MIMO雷达区别于传统雷达的一个本质特征，也是MIMO雷达优越性能得以发挥的一个重要前提，因而根据具体应用环境合理的设计发射波形便具有重要的研究意义。MIMO雷达发射波形设计主要分为两个方面：1）正交波形设计，也就是通过对发射信号的相位或者频率编码进行优化，使得发射信号的非周期自相关和互相关峰值旁瓣电平最小，以便对接收信号进行匹配滤波；2）部分相关波形设计，通过对发射信号进行优化，使其发射功率在空间指定（期望）的空域进行有效聚焦，在旁瓣空域的功率最小，可以有效避免传统MIMO雷达发射功率过于分散的缺点，本文主要针对后者进行研究。基于MIMO雷达发射方向图匹配（综合）的发射波形设计一般分为两步：1）建立发射方向图匹配的数学优化模型，对发射波形的协方差矩阵进行求解；2）根据已求得的协方差矩阵反推出实际发射波形。

文献［5］研究表明MIMO雷达发射方向图与其发射波形的协方差矩阵具有密切关系：当协方差矩阵为全1矩阵时，MIMO雷达退化为传统的相控阵雷达，各个阵元发射同一信号在空间形成高增益的单峰笔形波束；当协方差矩阵为单位矩阵时，MIMO雷达退化为传统MIMO雷达，各个阵元发射相互独立的正交波形在空间形成等增益全向方向图。对发射波形协方差矩阵进行合理的设计，可以使发射方向图介于上述两种极端情况之间，在期望空域内进行有效聚焦，这对已知目标分布空域的检测和参数估计是十分有利的。

文献［6］基于原对偶内点算法，分别利用最大最小准则和均方误差准则对MIMO雷达发射方向图进行了优化。仿真结果表明，优化方向图的主瓣较好地逼近了期望方向图，但是优化模型具有高度非凸、非线性的不等式约束，因而整个模型的计算复杂度较高。文献［7］将协方差矩阵的Cho1esky因子作为优化变量，可将方向图匹配的协方差矩阵优化转化为一个无约束问题，在一定程度上减小了优化模型的计算复杂度。为了解决文献［6-7］利用迭代算法无法求得协方差矩阵全局最优解的不足，文献［8］基于凸优化理论将其转化为一个半正定规划（SDP）问题，可以采用Mat1ab中的CVX工具箱进行有效求解，并且由凸优化理论可知所求解一定为全局最优解。但此方法不仅无法解决期望波束与优化波束不匹配引起发射方向图产生畸变的缺点，而且无法满足阵元的等功率辐射要求。

文献［6-8］主要阐述了基于发射方向图匹配的协方差矩阵优化，但如何从已知的协方差矩阵中获得实际的发射波形，仍是一个亟待解决的问题。对协方差矩阵进行特征值分解或者是Cho1esky分解，可以得到MIMO雷达的发射波形，但是对协方差矩阵进行矩阵分解得到的发射波形存在两点不足［9］：1）发射波形协方差矩阵是一个方阵，维数等于发射阵元的个数，对其进行矩阵分解只能得到相应维数的向量，这就说明一个脉冲内的码元长度是定值，这在实际应用中是严重受限的；2）对协方差矩阵进行分解得到的发射波形一般不能满足恒模特性，这种波形的峰均比（PAPR）较高，在实际雷达系统中难以实现。

为了解决上述问题，一些学者提出了基于循环算法的MIMO雷达发射波形设计方法。文献［10］构建了协方差矩阵匹配的发射波形优化模型，并利用循环算法对旋转矩阵和发射波形进行交替优化，得到了恒模发射波形。但文献［10］每次迭代过程中只利用了最优波形的相位信息，在优化波形初始幅度动态较大时，会造成优化方向图的畸变。

鉴于此，本文提出了一种新的MIMO雷达发射方向图综合的波形设计方法，主要分为两步对此问题进行解决。第1步：1）建立方向图匹配的发射波形协方差矩阵优化模型，通过构造基矩阵可以将协方差矩阵的优化转换为基矩阵系数的求解，能有效减小优化变量的维数从而降低计算复杂度；2）为避免期望波束值设置不合理造成MIMO雷达发射方向图性能下降的不足，引入尺度因子作为联合优化变量，既能摆脱实际方向图对期望波束具体值的依赖，又能减小设置期望波束的计算量；3）为了能够对方向图主瓣和旁瓣进行分别控制，基于优化理论构建主瓣波束逼近误差一定时最小化峰值旁瓣电平的优化模型，上述问题是一个SDP问题可以采用凸优化理论中的原对偶内点算法进行有效求解。第2步：在得到协方差矩阵之后，采用交替迭代算法对阵元的实际发射波形进行设计。考虑到文献［10］循环算法设计恒模发射波形造成方向图畸变的缺点，所提算法在迭代过程中严格约束发射波形的模值上界，并且给出了其随迭代步数的线性变化函数，以促使发射波形的模值逐渐向恒模逼近而不造成方向图有太大的畸变。

1 信号模型

考虑一双基地MIMO雷达，其发射阵列和接收阵列均为均匀线阵，阵元数分别为M和N，阵元间距分别为半波长，假设目标位于阵列的远场，且相对收发阵列的视角分别为 θ和φ，阵列配置如图1所示。

图1　双基地MIMO雷达示意图Fig.1 Schematic diagram of bistatic MIMO radar

令S（l）=［s1（l） s2（l） … sM（l）］T表示M个阵元第l个时刻的发射序列，si= ［si（1） si（2） … si（L）］T表示第i个发射阵元的信号序列，则基带发射信号矩阵为S= ［s1s2… sM］T，其中 i=1，…，M，l=1，…，L，L表示码长。假设发射信号为窄带信号，而且传播过程中无色散，则相对于发射阵列空间角度为φ处目标接收到的信号为

式中：a（φ）=［1 exp（jπsin φ） … exp（jπ（M-1）sin φ）］T为发射阵元的导向矢量；（˙）T和（˙）H表示矩阵（或者向量）的转置和共轭转置。

根据（1）式可以得到发射信号在空间的功率分布为

式中：R=E｛S（n）SH（n）｝为发射信号的协方差矩阵。

由（2）式可知，MIMO雷达发射功率在空间的分布由发射信号的协方差矩阵决定，合理地设计协方差矩阵能使发射方向图在目标的分布空域内进行有效聚焦，在旁瓣空域内的发射功率最小。

2 发射方向图综合

假设根据先验信息，已知目标的分布空域（以下简称为期望空域）为ΘZ，根据优化准则——期望空域内方向图逼近误差一定的前提下，最小化方向图的峰值旁瓣电平。可以得到方向图匹配下协方差矩阵的优化模型为

式中：NT表示总发射能量；α为尺度因子，其作用是消除优化方向图和期望方向图增益的不匹配，利用尺度因子可以减小文献［8］中设置期望方向图具体模值的计算量；ΘS表示方向图的旁瓣区；Z和S分别表示期望空域和旁瓣空域的离散化点数；tr｛R｝= NT表明阵元的发射总能量一定；R≥0表明协方差矩阵是一个复对称的半正定阵。（3）式是一个SDP问题，可以采用 CVX工具箱进行有效求解。由（3）式的表达式可知，其优化变量的个数为M2+1，为了进一步减小优化变量和约束条件的个数，从而降低算法的复杂度，本文引入一组基矩阵：

1，k=l+1，…，M，其中IM为M维单位矩阵，Δl，k，1表示M维方阵的第（l，k）和（k，l）个元素为1，其余约束为0，Δl，k，2表示M维方阵的第（l，k）个元素为j和第（k，l）个元素为-j，其余约束为0.则协方差矩阵可以表示为

（5）式是一个凸优化问题，可以采用原对偶内点算法进行快速求解，对比（4）式和（5）式可知，通过引入基矩阵能够有效降低优化模型计算复杂度，其中优化变量的个数从M2+1降为M2-M+2，减少了M-1个。

3 发射波形设计

根据（6）式在得到协方差矩阵后，直接对其进行特征值分解即可得到发射波形，但是采用这种方法得到的发射波形存在两点不足：1）发射信号的码长固定为发射阵元个数；2）发射信号的模值动态较大，制约了实际系统发射功率的提高。为解决上述问题，文献［10］提出了一种循环算法对已知协方差矩阵时的波形进行了优化，模型为

式中：R1/2为协方差矩阵的Hermite均方根；U为半正交矩阵，维数为M×L.

文献［10］的基本思想：1）给定一个高斯随机矩阵U；2）然后在已知U的前提下求解恒模发射波形矩阵S；3）在已知矩阵S的前提下更新矩阵U，重复上述两步操作，直到两次迭代过程中U矩阵的变化值小于预定的误差门限时结束。虽然此方法解决了任意编码长度的恒模发射波形设计问题，但是每次迭代过程中是直接求得恒模波形矩阵，显然会严重缩小原始可行域，造成MIMO雷达发射方向图的畸变过大。

为了避免上述不足，本文提出了一种迭代过程中约束发射波形模值上界的优化方法。这样既能使得发射波形的PAPR随着迭代步的增加逐渐减小向着恒模方向变化，又能利用上步迭代过程中波形矩阵的最优解信息，依迭代步数逐渐减小优化可行域，从而可有效避免MIMO雷达发射方向图产生严重畸变。

假设第k次迭代时的半正交矩阵为Uk，初始波形矩阵为Sk，则

式中：μ为缩小因子；sk为第k次迭代得到波形矩阵Sk所有元素的最大模值。（9）式是一个二阶锥规划问题，可利用CVX工具箱进行有效求解，在得到后，可以利用文献［10］的方法求得与其最佳匹配的半正交矩阵Uk+1，即

步骤1 初始化迭代步数k=0，并令半正交矩阵U0为M×L的Hadamard矩阵。

步骤2 执行以下循环体：

1）利用（8）式求得步数为k时的波形矩阵初始值Sk；

2）将Sk带入（9）式中，求得约束波形模值上界的修正（最终）波形矩阵

终止条件可以选择误差准则，也可以选择规定最大迭代步数，其中误差准则可以选为两步之间的半正交矩阵的误差小于规定的门限，也可以选为两步之间优化所得的协方差矩阵的范数误差小于规定的门限，为了方便期间本文以规定最大步数作为终止条件。

上述方法只能得到低PAPR的发射波形，为了减小硬件上对射频放大器的要求，同时获得最大的放大效率，发射波形应该具有恒模特性。考虑到优化所得发射波形的PAPR较低，可以直接取其相位来得到恒模发射波形而不会造成发射方向图产生严重的畸变，即

式中：angle（˙）表示取相位操作。

4 仿真实验

4.1发射方向图综合性能

4.1.1实验1方向图综合的有效性验证

假设MIMO雷达的发射阵列和接收阵列均采用线性配置，阵元间距均为半波长，发射阵元数目M= 10，期望归一化方向图在感兴趣内的增益为1，旁瓣区域为0，分别对以下3种模式下的发射方向图进行匹配：1）单峰模式：空间感兴趣的空域为ΘZ= ［-20°，20°］，离散化点数为40，旁瓣空域为ΘS= ［-90°，-30°］∪［30°，90°］，离散化点数为120，感兴趣空域内方向图误差的容忍度为0.03；2）多个对称峰模式：空间感兴趣的空域为 ΘZ=［-40°，-20°］∪［20°，40°］，离散化点数为40，旁瓣空域为ΘS=［-90°，-50°］∪［-10°，-10°］∪［50°，90°］，离散化点数为120，感兴趣空域内方向图误差的容忍度为0.03；3）多个不对称峰模式：空间感兴趣的空域为ΘZ=［-20°，0°］∪［30°，50°］，离散化点数为40，旁瓣空域为 ΘS=［-90°，-30°］∪［10°，20°］∪［60°，90°］，离散化点数为120，感兴趣空域内方向图误差的容忍度为0.03.基于本文算法得到的MIMO雷达发射方向图如图2～图4所示。为便于比较，仿真中均采用总发射功率为1.

图2　单峰发射方向图Fig.2 Sing1e peak transmitting pattern

图2～图4给出了3种模式下的MIMO雷达发射方向图，其中实线代表本文方法优化得到的方向图，虚线代表期望方向图，点划线代表传统MIMO雷达的方向图。从图2～图4中可知，本文所提方法对3种模式下的MIMO雷达发射方向图均能进行较好地匹配。并且优化模型不会随着主瓣个数和对称性的变化而改变，主要原因是本文基于凸优化理论给出了MIMO雷达方向图匹配下协方差矩阵优化的统一数学模型，将其纳入到一个标准的框架内，因而对多个宽波束的方向图综合问题都能有效解决。对比图2、图3和图4可知，期望波束宽度一定时，单峰方向图较多峰方向图而言，不但具有更高的主瓣增益，而且具有更低的峰值旁瓣增益，并且随着多峰不对称性的增强，其峰值旁瓣增益越高，具体性能见表1.归其原因为多峰方向图对发射波形的要求更高，造成优化模型搜索可行域减小，寻得的最优解变差造成发射方向图性能的恶化。

图3　多对称峰发射方向图Fig.3 Symmetric mu1ti-peak transmitting pattern

图4　多不对称峰发射方向图Fig.4 Asymmetric mu1ti-peak transmitting pattern

所提方法能够对发射方向图的主瓣增益误差和峰值旁瓣电平分别进行控制，避免了主瓣增益和峰值旁瓣增益差异较大而导致峰值旁瓣增益性能的恶化。为进一步分析二者之间的关系，以模式1为例给出峰值旁瓣增益随主瓣增益归一化误差的变化关系，如图5所示，其中容忍度的变化范围为［0.01，0.5］，离散化点数为11，其余仿真条件同上。

表1　优化方向图的主瓣增益归一化误差和峰值旁瓣增益性能Tab.1 The performance of the error of norma1ized main1obe gain and peak side1obe gain in the optimization pattern

图5　峰值旁瓣增益随主瓣增益归一化误差的变化Fig.5 Peak side1obe gain vs error of norma1ized main1obe gain

图5给出了MIMO雷达发射方向图为单峰且期望波束宽度为40°时，峰值旁瓣增益随主瓣增益归一化误差的变化关系。从图5可以看出，随着主瓣增益归一化误差的增大，峰值旁瓣增益逐渐减小，并且在主瓣增益归一化误差为0.2时，发射方向图的峰值旁瓣增益处于稳定状态不在随主瓣增益归一化误差的增大而减小。这是因为主瓣增益归一化误差约束和峰值旁瓣增益约束是一对矛盾约束，牺牲一方的性能可以换取另一方性能的改善，但是在主瓣归一化误差大于一定值之后，峰值旁瓣增益不可能无限减小。这是由天线系统本身决定的，因为对于任意一套天线系统而言，不可能在无限个方向上做到完全对消。

4.1.2实验2方向图综合性能的比较

为了进一步说明所提方法的有效性，将其与文献［8］方法综合所得的方向图性能进行比较。仿真条件：假设MIMO雷达的发射阵列和接收阵列均采用线性配置，阵元间距均为半波长，发射阵元数目M=10，发射总功率为E=10；空间感兴趣的空域为ΘZ=［-25°，25°］，离散化点数为51，旁瓣空域为ΘS=［-90°，-35°］∪［35°，90°］，离散化点数为220.所提方法采取的优化准则为：主瓣波束宽度一定时，在严格约束峰值旁瓣电平小于预设门限值的前提下，最小化主瓣增益归一化误差。

图6给出了本文算法和文献［8］方法优化所得的发射方向图，从中可知，二者都能在指定主瓣空域内实现能量的有效聚焦，所不同的是本文方法相对文献［8］来说，具有更低的旁瓣电平和更窄的主瓣波束宽度。这主要是因为所提算法将期望波束的模值和发射信号协方差矩阵进行联合优化，因而避免了期望波束和实际方向图模值不匹配导致优化误差变大的缺点。另外，本文算法在基矩阵中引入了单位矩阵，因而能够自动实现阵元的等功率辐射要求，如图7所示。相比只能控制总发射功率的文献［8］，本文算法更易实现辐射功率的最大化，但所付出的代价是主瓣增益的波动范围变大。

图6　不同方法优化所得的发射方向图Fig.6 Transmitting patterns optimized by different methods

图7　不同方法优化所得的单个阵元发射功率Fig.7 Transmitting power of actua1 array e1ement optimizated by different methods

4.2波形设计性能

4.2.1实验1波形设计的有效性验证

假设MIMO雷达的发射阵列和接收阵列均采用线性配置，阵元间距均为半波长，发射阵元数目M= 10，每个阵元发射的码长为L=64，发射信号期望协方差矩阵为实验1在3种模式下的优化结果，其所得缩小因子分别为0.88、0.88和0.85，迭代步数分别为560、560和680.

采用交替迭代算法对阵列的发射波形进行设计，每次迭代时在利用上步最优值信息的基础上对本步发射波形的模值上界进行约束，不仅避免了协方差矩阵的畸变，而且能够使得发射波形具有较低的PAPR.图8为本文优化波形合成的发射方向图，从中可以看出综合所得方向图与期望协方差矩阵合成的方向图具有很好地逼近性能。图9给出了3种模式下发射波形的PAPR性能，其中非对称多峰值方向图对应发射波形的PAPR值均小于1.4，单峰方向图和对称多峰方向图对应发射波形的PAPR值均小于1.2.为了定量分析低PAPR发射波形综合所得方向图的性能，本文以发射方向图的归一化误差Pe作为衡量指标，其定义为

式中：P′R和P"R分别为低PAPR发射波形对应的协方差矩阵和期望协方差矩阵。利用（12）式计算得到图8中3种模式方向图的归一化误差分别为：-43.571 2 dB、-42.498 4 dB和-45.982 2 dB.因而交替迭代方法优化所得低PAPR波形，对3种模式下的期望协方差矩阵都能进行较好地逼近。

4.2.2实验2波形设计的性能比较

为了进一步阐述所提方法在波形设计上的优越性，将本文算法和文献［10］方法分别应用到恒模发射波形的设计上，仿真条件如4.2.1节实验1所示。

为了使雷达系统中的功放对发射波形进行最大效率的放大，恒模是发射波形必须具备的特性之一。图10给出了本文算法和文献［10］方法设计恒模波形综合所得的发射方向图，从中可以看出，文献［10］中恒模波形综合所得方向图在主瓣波束内产生了严重畸变，而本文算法能够较好地逼近期望方向图。其原因是空间合成波束的增益与两个因素有关：1）发射信号的相位，只有对发射波形的相位进行合理的控制，才能使其在期望空域内进行有效的相干叠加；2）发射信号的模值，模值的大小直接影响空间合成信号的幅值。本文算法是在低PAPR的波形上直接取其相位得到恒模波形，即恒模波形与原始波形的误差较小，从而不会导致发射方向图产生严重畸变。而文献［10］在设计发射波形时，并没有约束波形模值，如果直接取相位得到恒模发射波形，就等同于忽略了发射波形模值对空间方向图合成的影响，势必造成发射方向图的畸变。

图8　基于交替迭代算法的低PAPR发射波形综合所得的发射方向图Fig.8 The transmitting pattern of 1ow PAPR waveforms by a1ternate optimization method

5 结论

MIMO雷达的各个阵元具有独立发射波形的能力，根据应用需求合理选择发射波形可以有效提高雷达系统的信号处理性能。本文以发射方向图的空间聚焦性能为目标对阵列的发射波形进行设计，主要包括两个方面的工作：

1）基于方向图匹配的发射波形协方差矩阵优化，首先通过引入新的优化模型，不但满足了阵元等功率辐射要求，而且简化了其求解难度；其次，利用SOCP算法对其进行求解，既能得到了优化模型的全局最优点，又可对发射方向图的主瓣增益和峰值旁瓣增益的性能进行兼顾。仿真实验表明：增大主瓣增益归一化误差可有效降低峰值旁瓣增益，但在主瓣增益归一化误差达到0.2（模式1），峰值旁瓣增益不在降低，这是由天线系统本身决定的。

2）在得到协方差矩阵后，采用交替迭代寻优算法对发射波形进行设计，在每步迭代中对优化变量的模值上界进行了约束，因而在方向图不产生畸变的基础上可有效地控制了发射波形的PAPR.仿真结果表明：通过对每次迭代优化变量的幅度相位信息进行有效利用，优化所得发射波形不仅具有较低的PAPR而且能够对期望波束进行有效地逼近。

图9　发射波形的PAPRFig.9 Actua1 PARA of transmitting waveforms

图10　恒模发射波形综合所得的方向图Fig.10 Pattern of synthesized CA waveforms

（References）

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Waveform Design of MIMO Radar Based on Transmitting Pattern Synthesis

HUANG Zhong-rui，ZHOU Qing-song，ZHANG Jian-yun
（F1ectronic Fngineering Institute，Hefei 230037，Anhui，China）

A new method about the transmitting pattern synthesis of mu1tip1e-input and mu1tip1e-output （MIMO）radar is proposed in order to maintain the uniform e1ementa1 power constraint and 1ow peak-toaverage power ratio（PAPR）of the transmitted waveform.A basis matrix set is constructed，which can convert the so1ution of covariance matrix into the optimization of the coefficients of basis matrix set.It can not on1y reduce the computing comp1exity of the origina1 optima1 mode1 but a1so can be so1ved effective1y by the prima1-dua1 interior point method.The identity matrix is inc1uded in the basis matrix set，which can satisfy the uniform e1ementa1 power constraint.And the sca1e factor of the desired beam is set as the unite variance so as to reduce the matching error of the MIMO radar pattern.The matrix decomposition and a1ternate optima1 method are used to design the transmitted waveform which can effective1y descend the PAPR based on the convex optimization.The simu1ation resu1ts are presented to verify the efficiency of the proposed method.

radar engineering；mu1tip1e-input and mu1tip1e-output radar；transmitting pattern synthesis；waveform design；peak-to-average power ratio；modu1us constraint；convex optimization

TN958

A

1000-1093（2016）05-0851-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.05.011

2015-05-18

国家自然科学基金项目（61201279）；安徽省自然科学基金项目（1408085MF128）

黄中瑞（1988—），男，博士研究生。F-mai1：18756073857@163.com；张剑云（1963—），男，教授，博士生导师。F-mai1：zjy921@sina.com