矩形波卷积求解方法的研究

张志银，刘丹丹

(1.郑州升达经贸管理学院数学教研室，河南郑州　451191；2.中原工学院理学院，河南郑州　450007)



矩形波卷积求解方法的研究

张志银1，刘丹丹2

(1.郑州升达经贸管理学院数学教研室，河南郑州451191；2.中原工学院理学院，河南郑州450007)

本文详细地分析了矩形波卷积的方法，并结合矩形波本身的特点，重点讨论了三种较为简便的方法.通过对比，我们总结出这些方法的优点以及适用对象，最后举例说明各个方法的具体计算过程.

矩形波；卷积；冲激函数；门函数①

0　引言

卷积是一种重要的数学方法，它在信号和系统理论中占有重要地位，特别是在线性时不变系统，简称LTI(Linear Time Invariant)系统中，有着重要的应用，可归结为以下几个方面：

(1)任一信号均可分解为冲激信号的叠加，即信号与冲激函数的卷积，从而得到求解LTI系统零状态响应的卷积原理，所以它是时域系统分析的强有力工具，可避免直接求解复杂的微分方程；

(2)系统的零状态响应可用输入信号与系统本身的冲激响应进行时域卷积而得到，无论对系统作时域分析还是变换域分析，这个结果都非常重要，可以减少运算量，大大简化计算过程；

(3)卷积的实际物理意义就是把某时刻以前的输入对此事的影响都累加起来，这个特点在离散序列里面看得更清楚，这是系统具有必然性的结果.

在工程应用中常见的一种信号就是矩形波，它不仅简单而且是组成其它复杂信号的基础，而矩形波卷积是信号与系统分析中经常遇到的问题[1-3].因此，讨论两矩形波卷积的计算方法有着十分重要的意义.

1　卷积积分及其性质

1.1卷积积分

(1)

1.2卷积的主要性质

由定义易知卷积满足交换律、分配律、结合律等代数运算，本文主要讨论矩形波卷积的方法，下面仅列出与矩形波卷积计算关系密切的性质.

性质1若f1(t)和f2(t)的取值区间分别为(t1a,t1b)、(t2a,t2b)， 则f(t)=f1(t)*f2(t)的取值区间为(t1a+t2a,t1b+t2b).

注：此性质也适用于取值区间为闭区间.

性质2函数与冲激函数的卷积是它本身，即

f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)

(2)

性质3若f(t)=f1(t)*f2(t)，则

f1(t-t1)*f2(t-t2)=f1(t-t2)*f2(t-t1)=f(t-t1-t2)

(3)

此性质十分重要，有利于简化卷积求解的过程.它表明：卷积结果的曲线形状只与相卷的两个函数形状有关，而与相卷两个函数的具体位置无关.这一性质跟信号与系统的理论是相符的.

若设f1(t) 为信号，f2(t)为LTI系统，则f2(t-t2)仍为LTI系统，故延迟的信号f1(t-t1)通过LTI系统f2(t-t2)后得到的输出信号形状肯定与未延迟时一致，仅有些延时(位移) 而已.即f1(t)*f2(t) 与f1(t-t1)*f2(t-t2) 形状相同，仅位置不同.

性质4(卷积的微分与积分)若f(t)=f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)，则

其导数

(4)

其积分

(5)

如果对(4)(5)两式分别求积分或求导，则有

(6)

2　矩形波卷积的计算方法

矩形波是一种简单且常见的一种信号，矩形波在信号与系统中占有相当重要的地位，故讨论两矩形波卷积的计算方法有着十分重要的意义.由于矩形波自身函数特点，我们除了直接根据卷积定义计算外，还可结合性质得到几种简便计算方法.本节讨论了矩形波卷积的几种较为简便的计算方法，并比较这些方法的特点及适用对象，以便更好地计算矩形波卷积.

2.1定义法

设任意两矩形波，如图1所示，其中d-c≤b-a，求卷积f(t)= f1(t)*f2(t).按照卷积积分的定义，将两信号的函数表达式直接代入公式(1)计算即可.

图1　任意两矩形波的波形图

2.2图解法

图2　图解法示意图

设A 与D 点，C 与B 点，C 与A 点，D 与B 点重合的坐标值分别为t1、t2、t3、t4，两矩形波的高分别为k1，k2，则有

t1-c=a⟹t1=a+c，t2-d=b⟹t2=b+d，

t3-d=a⟹t3=a+d，t4-c=b⟹t4=b+c.

设t由-∞逐渐增大(即f2(t-τ) 由左向右移).当t>t1时，由0开始增大，当t>t3时， 达最大值. 由于d-c≤b-a，所以当t>t4时， 由最大值开始变小，当t>t2时，又变为零.因此，

其波形图,如图3所示.

图3　矩形波卷积的波形图

2.3门函数法

矩形函数常常用阶跃函数来表示.在上图1中，所示的两个矩形波分别表示为

f1(t)=ε(t-b)-ε(t-a) ，f2(t)=ε(t-d)-ε(t-c).

由于这种简单的表达形式，我们利用公式(3)及常用卷积ε(t)*ε(t)=tε(t)，不用画图便可求出卷积积分

f1(t)*f2(t)=[ε(t-b)-ε(t-a)]*[ε(t-d)-ε(t-c)].

2.4微分与积分法

图4　微分与积分法示意图

2.5矩形波卷积的图形

由以上分析可知:

①两个不等宽矩形波的卷积为一等腰梯形，梯形高为两矩形波高之积与较短矩形波长度的乘积(即k1k2(d-c))，短边长度为两矩形波长度之差，长边长度为两矩形波长度之和.

注: 此处的高可为正或负.

②两等宽矩形波卷积，结果为一等腰三角形，底边为两矩形波长度之和，高度为两矩形波高度与矩形波长度的乘积.

3 实例分析

例 f1(t)与f2(t)为如图5所示两矩形波，计算f1(t)*f2(t).

图5　两矩形波的波形

解 ①图解法

直接利用2.2图解法的结论，此题为两不等宽的矩形波作卷积，由图5知，a=2，b=6，c=1，d=4，k1=2，k2=1，从而t1=3，t2=10，t3=6，t4=7， k1k2(d-c)=2，故f1(t)*f2(t)的波形取值范围为[3,10]，卷积图形为一等腰梯形，高1×2×(4-3)=2，短边长为4-3=1，长边长度为3+4=7，如图6所示.

图6　卷积图形

②门函数法

由图5可知，

f1(t)=ε(t-1)-ε(t-4)，f2(t)=2[ε(t-2)-ε(t-6)]

故

f1(t)=[ε(t-1)-ε(t-4)]*2[ε(t-2)-ε(t-6)]

=2[ε(t-1)*ε(t-2)-ε(t-1)*ε(t-6)-ε(t-4)*ε(t-2)+ε(t-4)*ε(t-6)]

=(2t-6)ε(t-3)-(2t-14)ε(t-7)-(2t-12)ε(t-6)+(2t-20)ε(t-10)

此函数波形与图6相同.

③利用微分与积分性质

图7　微分、积分和卷积的波形图

以上，同一例题利用本文给出的三种不同的解法进行计算，通过比较不难得到如下结论：

①门函数法计算直接明了，易于求函数表达式，且适用范围广，对两个信号均不是矩形波的情形同样适用，但不易直接得到卷积之后信号的波形；

②图解法和微分与积分法都可直接结合图形得到最终的结果，但图解法只适用于两个均是矩形波的情形；微分与积分方法计算较为简单，充分利用了冲激函数和卷积的性质，既可给出函数表达式，也可直接图解，适用范围较广，对一个信号为矩形波，另一个不是矩形波的情形同样适用.

4　结论

本文从卷积的基本概念及性质出发，研究了矩形波卷积的问题，给出了三种较为简便的计算方法，举例说明方法的优点及适用对象. 理论与实践均表明，这些方法简化了矩形波卷积的计算与作图，进一步加深了矩形波卷积的概念与定性的理解，以便更好地应用在信号与系统的分析理论中.

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[责任编辑：房永磊]

Several Simple Methods of Solving the Rectangular Wave Convolution

ZHANG Zhi-yin1,LIU Dan-dan2

(1.Department of Mathematics, Zhengzhou Shengda University of Economics Business and management, Zhengzhou 451191, China;2.College of Science, Zhongyuan University of Technology, Zhengzhou 450007, China)

In this paper, We systematically analyzes the rectangular wave convolution methods, combining with the rectangular wave self characteristics, and we focus on the three relatively simple methods. By contrast, we concluded the advantages of these methods and application objects. Finally, an example is given to illustrate the specific calculation process of each method.

rectangular-wave; convolution; impulse-function; gate-function

2016-08-01

张志银(1983-)，男，河南鹿邑人，郑州升达经贸管理学院讲师，硕士，主要从事微分几何、高等数学教学等研究.刘丹丹(1983-)，女，河南鹿邑人，中原工学院理学院讲师，博士，主要从事原子与分子、大学物理教学等方面的研究.

O177.92

A

1004-7077(2016)05-0047-06