“中垂三角形”的三边数量关系探究

范宏祥

（桐庐县富春江初级中学）

“中垂三角形”的三边数量关系探究

范宏祥

（桐庐县富春江初级中学）

一、试题呈现

1.（江西2015年中考第24题）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a，AC=b，AB=c.

图1

图2

图3　

图4

［特例探索］

如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=_____，b=_____；

［归纳证明］

（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式.

［拓展应用］

（3）如图4，在▱ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=，AB=3.求AF的长.

2.考题解答

图5　

图6

如图，AB=c，AC=b，BC=a，中线AE、CD互相垂直

求证：a2+c2=5b2

证明：设AO=2m，CO=2n，则OD=n，OE=m

∵CO⊥AE

∴在Rt△AOD和Rt△COE中，

将②代入①得

∴5b2=c2+a2

［规律应用］

连结AC，连结点F和AB的中点H

∵点E、G、H、F分别为AD、DC、AB、BC的中点

∴EG//AC//HF

∵BE⊥EG

∴HF⊥BE

又∵点M为AF的中点

∴△ABF为中垂三角形.

二、“中垂三角形”尺规作法

作法1：（1）AD为斜边作.

（2）延长AO至E，使AO=2OE，延长DO至C，使CO=2OD.

（3）连结AC，连结CE、AD并延长交于点B.

三角形ABC就是所求作的中垂三角形.

作法2：（1）作线段AE并三等分AE，O为一个三等分点

使AO=2OE.

（2）过点O作CO⊥AE，使CO=2OD.

连结AC，连结AD、CE并延长，交于点B.

2.“直角中垂三角形”的作法

在任意中垂三角形基础上，作直角中垂三角形首先确定哪个角可能是直角.∠B可以排除，不可能为直角.若∠B为直角，则∠CEA为钝角，在Rt△COE中，不可能出现钝角.所以只需让∠A或∠C成为直角即可.若∠C为直角则CO为斜边上的高线，由射影定理可得CO2=AO×OE，即只要作出AO和OE的比例中项CO.

作法：（1）作线段AE并三等分AE，O为一个三等分点使AO=2OE.

（2）过点O作CO⊥AE，以AE为直径作圆，交OC点C.

（3）延长CO到D，使CO=2OD.

连结AC，连结CE、AD并延长交于点B.

三角形ABC就是所求作的直角中垂三角形.

3.“直角中垂三角形”的三边数量关系

Rt△CEA中

“中垂三角形”是一个新定义的概念，它来自于中线相互垂直这样一个组合型的特定条件，是基于两个已有概念基础之上的.这样一个符合新概念的三角形也会有它的一些性质，本文就“中垂三角形”的三边数量关系进行了探究，就文章深度来说不够，只是希望在未知的领域有一些推进，只能算是抛砖引玉.

·编辑薄跃华