小数阵，大作用——以一节比赛课为例

筅浙江省宁波市鄞州区正始中学　何卫华

筅浙江省宁波市鄞州区正始中学方勇

小数阵，大作用——以一节比赛课为例

筅浙江省宁波市鄞州区正始中学何卫华

筅浙江省宁波市鄞州区正始中学方勇

笔者于2016年4月28日参加了区里的教坛新秀评比，课堂教学环节是根据一道试题上一节复习课，在数学组全体教师的大力支持帮助下，笔者获得了一等奖的佳绩.在整个比赛的过程中，笔者感悟颇深，遂撰文与大家分享，不当之处，望大家批评指正.

题目：以2016年4月浙江省普通高中学业水平考试23题为引例，上一节“一题一课”的数列复习课.

如图，将数列｛an｝（n∈N*）依次从

左到右，从上到下排成三角形数阵，其

中第n行有n个数.

（Ⅰ）求第5行第2个数；

（Ⅱ）问数32在第几行第几个；

（Ⅲ）记第i行的第j个数为ai，j（如a3，2表示第3行第2个数，即a3，2=10）

的值.

一、教学定位

该题是以数阵形式给出的，如果上成一节数阵研究的课，那就偏离了数列复习课的主题，所以应该定位为一节以数阵为载体的数列通项、求和的复习课.授课对象为区内基础较好的高一学生，学生已经较好地掌握数列的基本知识.因此，以数阵为载体来复习数列知识，可以更好地培养学生观察、发现、猜想、论证的能力，加深对数列基础知识的理解，提高灵活运用知识的能力.通过学生的动手实践，操作确认，合作交流，使学生的思维水平有所提高.

二、教学过程

1.创设情境，引入新课

人们从来没有停止过对数的研究，把一些数按照一定顺序排成一列，我们称之为数列；如果把一些数按照一定顺序排成某种图形，我们称之为数阵.打个比方，如果我们把数列比作一条“线”，数阵就可以比作一个“面”.我国古代有名的“杨辉三角”就是数阵的典型代表.既然数列和数阵都是把数按照一定顺序排列的，那它们之间必然会有一些联系，我们就尝试寻找它们两者的联系.众所周知，问题是数学的心脏，今天就从一道学考试题开始我们的探索之旅（ppt展示试题的前两小题）.

（设计说明：点明主旨，数列和数阵有一定的联系，可以为将数阵问题转化为数列问题作好铺垫.杨辉三角是著名的数阵问题，可以激发学生学习兴趣，增强民族自豪感.）

2.类比概念，建构新知

师：数列中的第n项我们可以用符号an表示，那么我们数阵中的数可以用什么符号表示？

（设计说明：高一学生还没有接触过数阵，虽然试题第3小题中有对数阵中数的记号有注释，但是我们可以让学生合情推理，把数阵可以比作一个“面”可以使学生联想到两个坐标自然地得到数阵中数的符号表示，是不可多得的一次类比，也可以使学生体会到数学是自然的.）

生：第i行的第j个数记为ai，j，i，j是正整数.

3.变式拓展，加深认识

师：很好.（ppt展示第3小题.）同学们思考一下这3个小题.

……

师：这道题同学们都是通过补全数阵解答的，方便实用.第3小题采用了裂项求和的方法，答案都是正确的.我们现在将第3小题改为求的值（ppt展示题目），关键是什么？

生：求出ai，i.

师：原数阵中的数虽然已经比较简单，我们可以再简单一些，可将数阵改为

（板书，本节课一直会用到）.这样一来，我们新数阵中ai，i就是原数阵中的ai，i的一半，解决了新数阵中的ai，i原问题就解决了.同学们思考一下新数阵中ai，i该如何计算.

（设计说明：将问题一般化，解法一般化，提升思维.数阵的转化体现了化归，复杂问题简单化也是一般解题策略.转化后的数阵是本节课的一个基本模型，贯穿始终.）

生：我将1，3，6，10，…排成一列，求ai，i就是求该数列的第i项.观察到：1=1，2=1+2，6=1+2+3，那么第i项就是1+ 2+…+i=.师：很好.通过观察、归纳得到了答案.数学不仅需要合情推理，更需要推理论证.这里1=1，2=（1）+2，6=（1+2）+3说明什么？

生：第二项起，后一项在前一项基础上加上行数.所以可以用累加法求通项.

师：很好，这里我们沿用数阵中的记号来书写.（板书：ai，i=（ai，i-a（i-1），（i-1））+…+（a2，2-a1，1）+a1，1=i+（i-1）+…+2+ 1=）数阵问题可以转化为数列问题求解.

（设计意图：培养学生观察，分析，猜想，归纳的能力.使学生体会将陌生问题熟悉化是常见解题策略.复习基本求数列通项方法，裂项求和法.）

4.建立模型，揭示本质

师：求新数阵中的ai，1.

生：ai，1=a（i-1），（i-1）+1.

师：很好，发现了前后项之间的关系，那么ai，j怎么用i，j表示？

生：ai，j=a（i-1），（i-1）+j.

师：很好，那么ai，j=ai，1+？

生：j.

生：j-1.在第i行中，ai，j相当于数列中的通项，ai，1相当于首项，因此加上的应该是j-1.

师：如果将新数阵的数“拉直”，那就成了：1，2，…，n，…，我们令n=ai，j，得到n=模型建立）.这就找到了数阵中的项数n与i，j之间的关系.其中i取正整数，1≤j≤i，且i∈N*.

（设计意图：数阵问题中主要是求ai，j，将数阵问题转化为数列问题是常见解题策略.通过探究，得到数阵中的ai，j与转化后数列项数n之间的转化关系，为接下来的教学打下基础.）

5.应用模型，归纳提升

师：今天是2016年4月28日，4在新数列中排在第3行第1个数，那么28排在第几行第几个数？

生：通过补全数阵，是第7行第7个数.

师：第7行的最后一个数.但当数字比较大的时候补全就有困难了，我们能找到更好的方法吗？可以找小组同学讨论……（讨论声）

师：好，这里先求i再求j，还有别的解法吗？

师：我们可以先求i接下来再求j，那这里有2个变量，如何变成一个变量？

生：去掉j.转化为关于i的不等式，因为j>0，28> i（i-1）

2.只要求出满足不等式的i的最大正整数就可以了.

师：这里可以去解一元二次不等式，通过i是正整数就可以确定.

生：i取7.

师：j怎么求？

生：i=7.

师：对的，为什么？

师：这种题型我们都是先确定i再求j.新数阵这个模型得到的结论可以为我们求i，j提供方便.我们的感悟是：我们平时应该积累更多的数学模型，解题时可以获取灵感.接下来我们求解2016在新数阵中是第几行第几个数？看谁解得快.

……

师：怎么得到i=63？

生：是凑的.

师：凑功很好！（全班笑声）怎么凑的？

生：先确定i大概是60几的数，我凑了65，发现高了，再凑63，刚好！

师：二分法学得很好，值得我们学习，怎么确定i大概是60几的数？

师：很好，给出了一个估算的方法.今天是个不错的日子，冥冥中暗示我们数阵学习的方法.我们发现4在数阵行“首”，28和2016在行“尾”，数阵中求ai，j不就是看首看尾找规律吗？（全班响起了热烈的掌声.）

（设计意图：该题型是学考题的拓展，给出更一般的解法，也是数列和数阵转化的一个应用，最后的小结更是灵光一闪.比赛课教学设计最好有时效性的设计.）

师：求新数阵中前i行的和？关键是确定什么？

生：首项，末项，项数，项数就是ai，i.

……

（设计意图：求和公式复习）

6.灵活应用，内化新知

师：刚才我们把数阵简单化，现在来看一个比较复杂的问题.我们将数阵换为（ppt展示），求ai，j？

师：求第i行的和？

……

（设计意图：模型结论的简单应用，复习等比数列和公式）

师：难度增加，看一个更复杂的问题.

（ppt展示例2）设｛an｝是集合｛2s+2t|0≤s

学生思考……

生：按照规律将数字改写：3=21+20，5=22+20，6=22+21……接下去就不知道了.

师：有时数列问题也可以转化为数阵问题求解.……

（设计说明：逆向思维，数列问题转化为数阵问题，也可以用基本模型解决该问题.）

7.小结归纳，画龙点睛

今天，我们以数阵为载体从一道题学考题开始复习了通项的求法，数列求和方法.在解题中运用了猜想，归纳，特殊到一般的数学思想方法，我们构造了一个数学模型，并体会了数学模型在解题中的作用，我们平时要加强数学模型的积累.课堂上涉及的将复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，熟悉问题规律化等这些解题策略也必将会给我们今后的解题实践以启发.

三、教学启示

1.数学教学应重视本质的揭示

由于数学高度抽象的特点，在教学中要通过典型例子的分析和学生自主探索活动，引导学生经历从具体到抽象，特殊到一般，理解数学结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法.在数学教学中，要强调对数学本质的认识.因此，高中数学教学应该返璞归真，努力揭示数学结论的发展过程和本质.

2.学生是学习的主体

现代建构主义教学观认为：“学生是数学学习的认知主体，知识只是在它与认知主体在建构活动中的行为相冲突或相顺应时才被建构起来.”教学中应充分发挥学生的主观能动性，教师要鼓励学生积极参与教学活动，做好引导、组织.学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学、收集资料、调查研究、撰写论文等学习数学的方式，让学生体验数学发现和创造的历程，课堂上尽可能多地展示学生的成果，激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，发展他们的创新意识，因为“告诉我，我会忘记；分析给我听，我可能记住；如果让我参与，我会真正理解”.

3.数学思想的教学

数学思想的形成是一个较漫长的、螺旋上升的过程，这就需要教师在上课时将用数学思想思考问题的意识贯穿高中整个教学过程，站在系统的高度，引导学生用联系的观点看问题.数学思想也是一个人学习，工作所必须的一种能力，这就需要教师将对学生数学思维能力的培养渗透到平时教学的点点滴滴之中，通过各种不同的知识作为载体培养学生思维的能力，通过量的积累促使学生达到质的变化，真正体现数学培养人的意义和价值.

4.课堂中要有“三声”

我区的前辈老师认为一节好课一般要有“三声”，即“笑声、讨论声和掌声”.有笑声说明学生在课堂的学习过程中身心是愉悦的，良好的心情更有利于学习效率的提升，也可以活跃课堂气氛；有讨论声说明学生在课堂上有和其他学生进行思维的碰撞，有利于学生在小组交流的过程中锻炼语言表达能力，思辩能力和合作探究能力；有掌声说明学生对学生的认同，或学生对老师由衷的信服，有利于激励学生，提高学生学习数学的兴趣.当然，我们也没有必要刻意地追求“三声”，“三声”的产生离不开教师精心的设计，更多的是课堂上自然的生成.

5.“一题式”教学

本课例采用“一题式”教学，即以一道题贯穿课堂始终的课型.这样的课例并不少见，在作业分析课，试卷讲评课，习题课，尤其在复习阶段该课型较多.教学方法主要有：（1）方法归纳型，通过一题多解，在应用中暴露学生思维的盲点，教师和学生一起归纳解题的方法，规律，在原有认知基础上实现认知“升华”；（2）本质揭示型，讲究步步为营，可以对原题的条件或结论进行改编，拓展，按照知识难易程度安排例题，练习，构建学生共同的发展平台，循序渐进.无论是采用哪种方法，目的只有一个，从学生的探索、讨论中，从师生交流中，从课堂的意外中获得感悟的时候，使学生学会“总结、反思、提炼、升华”.通过对一道题从不同角度的拓展和引申，提升学生的分析问题，解决问题的能力.

四、结束语

复习的主要任务就是回顾知识，梳理方法，积累解题经验，提高应对能力.每当遇到新情景、新问题时，教师要引导学生将每个知识点置于系统之中，从系统的角度去理解，把握每一个概念，就不会孤立地看问题，自然地会用联系的观点看问题，换个角度看问题，从而在完成知识建构的过程中实现了数学思想的渗透和哲理观点的升华.

1.王慧.数阵问题面面观［J］.中学数学（上），2010（12）.

2.吴生旭.数阵与数表问题解题策略［J］.福建中学数学，2009（3）.Z