高中学生数学审题失误的类型和培养学生审题能力的策略*

筅陕西省麟游县中学　张哲　韩红军　张红祥

高中学生数学审题失误的类型和培养学生审题能力的策略*

筅陕西省麟游县中学张哲韩红军张红祥

数学审题就是对题目信息进行观察、理解、处理，感知数学问题中的文字和图形信息，弄清哪些是条件，哪些是结论，获取数学“符号信息”和“形象信息”，识别题目的类型，将获取的信息不断重新整合，提取有用的结论，明确解题方向、思路和途径.在解题过程中发现已知和未知之间的联系无法建立时回题，检查是否遗漏或忽略某一条件；当问题得到解答时，检测结论是否与已知相符合，是否与已知有矛盾之处的一种立体螺旋式动态思维活动.数学审题贯穿于整个解题过程之中，包括解题前的初审、解题中的再审、解题后的终审三部分.三部分互相依存，形成一个有机的整体，又密不可分.

一、审题失误的类型

1.曲解题意

由于学生没有读懂题目，没有正确理解题意，可能遗漏条件，可能没有理解字面含义，可能没有理解数学概念，可能没有画图分析题意导致审题错误，曲解题意.

1.1遗漏条件

例1从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是［3b2，4b2］，则这一椭圆离心率e的取值范围是（）.

错误审题：此题曾使很多同学苦恼，无法求出准确答案.

原因分析：因为学生没有充分注意“划出一块面积最大的矩形”这一条件.设椭圆方程为=1，则椭圆的参数方程为则矩形的面积s=4acosα·bsinα=

2absin2α，故最大矩形面积为2ab.所以3b2≤2ab≤4b2圯，所以

1.2没有理解字面含义

例2某商场预计2016年从1月起前x个月顾客对某种商品的需求总量（单位：件）P（x）与月份x的近似关系是P（x）=x（x+1）（41-2x），x≤12，x∈N*.

（Ⅰ）写出第x个月的需求量（单位：件）（fx）的表达式；

（Ⅱ）若商场在年初必须与供货商签订供货协议，在每月初必须等量地进货A（A∈Z）件，试确定A的最小值，使得该商场的备货每月都能满足需求.

错误审题：（Ⅰ）很容易得到（fx）=-3x2+42x，x≤12，x∈N*（.Ⅱ）由题知，A≥（fx）对坌x≤12，x∈N*恒成立，所以A≥（fx）max=（f7）=147.

原因分析：上述错误审题的原因是学生没有正确理解题中“该商场的备货每月都能满足需求”这句话的含义，把“备货”和“进货量”简单地划上了等号，认为只要A不小于每个月的需求量即可.所以正确审题分析如下：由题意知，A≥P（x）对坌x≤12，x∈N*恒成立，故A≥P（x）max=115，又A∈Z，所以A的最小值为116［1］

1.3错误理解数学概念

例3设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te＋7e与e＋te的夹角为钝角，实数t的

1212范围为_________.

错误审题：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得（2te1＋7e）2·（e1＋te2）＜0，化简即得：2t2＋15t＋7＜0，解得-7＜t＜-

原因分析：上述错误审题的原因是错误理解了向量的夹角为钝角这个概念造成的.当夹角为π时，也有（2te1＋7e2）·（e1＋te2）＜0，但此时夹角不是钝角，2te1＋7e2与 e1＋te2反向.设2te1＋7e2＝λ（e1＋te2），λ＜0，可求得故所以所求实数t的范围是∞∪

1.4没有画图帮助分析审题

例4已知抛物线y2=2px（p>0），点A（2，3），F为焦点，若抛物线上的动点M到A、F的距离之和的最小值为，求抛物线的方程.

错误审题：由题意知，|MA|+|MF|≥|AF|，则（|MA|+ |MF|）min=|AF|=，解得p=2或p=6.当p=6时，抛物线的方程为y2=12x，若x=2，则y2=12x=24> 9，不符合题意，应舍去.同理可知，p=2符合题意.故所求抛物线方程为y2=4x.

原因分析：上述错误审题在于没有画图，画图分析可知，点A和焦点F有可能在抛物线的异侧，有可能在抛物线的同侧.如果在同侧，作MN⊥l于点N，AB⊥l于B，于是|MA|+|MF|=|MA|+|MN|≥|AB|，则（|MA|+|MF|）min=|AB|=，解得p=2（，经检验符合题意.所以所求抛物线方程为y2=4x或y2=4（

2.忽视隐含条件

由于学生忽视题目中的隐含条件，可能是参数所含的制约条件，可能是问题表述中的隐含条件导致审题错误.

2.1忽视参数所含的制约条件

例5在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（t为参数）和（θ为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为________.

错误审题：本题考查参数方程与直角坐标方程之间的转化，突破口是把参数方程转化为直角坐标方程，利用方程思想解决，曲线C1的直角坐标方程为y2=x，曲线C2的直角坐标方程为：x2+y2=2，联立方程得，解得所以交点坐标为（1，1）或（-1，-1）.

原因分析：上述错误审题的原因是忽略了参数所表示的取值范围，表达式中x，y∈［0，+∞）.曲线C1的直角坐标方程为：y2=x（x≥0，y≥0），曲线C2的直角坐标方程为：x2+y2=2，联立方程得所以交点坐标为（1，1）.［2］

2.2挖掘问题表述中的隐含条件

例6已知x2+4y2=4x，则x2+y2的取值范围是（）.

B.［0，+∞）

C.［0，16］D.［16，+∞）

原因分析：本题涉及两个变量，而且结论中的x2+ y2≥0，所以上述审题程序是有漏洞的，失误的原因主要是忽略了题目中由于两个变量x，y的相互制约所隐含的变量x的取值范围，所以我们可以进一步完善上述审题程序如下：

3.反思终审

由于学生解完题后没有回头望，忽视检验或数学定理、公式或法则没有吃透，运用不当导致解题后的终审错误而功亏一篑.

3.1忽视检验

例7已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，求a，b的值.

错误审题：f′（x）=3x2+2ax+b，由题意可知，

原因分析：对于可导函数，导数为0的点不一定是极值点.函数y=f（x）在x=x0处取极值的充要条件应为：（1）f′（x0）=0，（2）在x=x0左右两侧的导数值的符号相反.上述错误审题的原因是只满足了（1），对于（2）我们必须进行验证：当a=-3，b=3时，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2，易知在x=1的左右两侧都有f′（x）>0，即函数f（x）在R上是单调递增的，因此f（x）在x=1处并不存在极值.当a=4，b=-11时，f（x）=x3+4x2-11x+16的图象如图1，当a=-3，b=3时，f（x）=x3-3x2+3x+9的图像如图2，故本题正确答案应为

图1　

图2　

3.2数学定理、公式或法则运用不当

原因分析：利用基本不等式求最值时，无论怎样变形，均需满足“一正、二定、三相等”的条件.上述审题的错误原因是解题时应尽量避免多次应用基本不等式，如连续应用了基本不等式，应特别注意检查等号是否能同时成立.b＋4，因为a>0，b>0，a＋b＝1，则≥17.所以原式≥×17＋4＝最小值是

二、培养学生审题能力的策略

1.以概念教学为途径，培养学生正确的审题意识和审题方向

审题意识是指学生对审题行为本身的觉察和关注度.数学审题能力的培养，首先要培养学生的阅读能力，而最能培养学生阅读能力的是概念教学.课堂教学中，在概念形成时，给学生充足的时间和空间，引导学生多角度地思考和联想，体会概念产生的背景，公式、定理的推导中蕴含的思维方式等.（1）通（粗）读.看到一个数学题目后，先进行粗略阅读，搜集汇总题目中的信息，对重要的字、词、句、量标上记号，理清题目中的已知条件和结论，对解题途径提出若干设想，从自己大脑中储存的知识中提取与之相适应问题的方法，建立初步的思维链，在大脑中进行整合.（2）精读.通读之后要认真细致地阅读题目条件，仔细体会题目中的关键词句，包括直接的、间接的、隐含的条件等一个都不能放过.同时，画个图、列个式子、文字语言翻译成数学语言，看不懂的地方变换一下表述方式，逐字逐句地加以理解.

2.运用程序化审题方法，培养学生的审题习惯

审题习惯是指在解题过程中，在弄清和理解题意，找到解题对策过程中的行为心理表现及思维方式.具体表现在：首先获取题目的有用信息，弄清题目的结构特征，弄清题目的意境，明确题目的要求，然后捕捉和加工题中的有效信息，辨析题中的限制条件和隐含条件，判明题型，选择相应解法.学生的审题是一个心理过程，为了规范学生的审题，培养学生的审题习惯，我们可以采用下列的审题程序：（1）已知条件是什么？关键词是什么？（理清条件）（2）求（证）什么？属于什么范畴的问题？（找准目标）（3）问题中所涉及的数学术语的含义是什么？怎么表示？（条件转化）（4）是否见过类似的问题？什么地方相似？对当前的问题能不能利用？（寻求思路）（5）现在还缺少什么？（回头再审）（6）题中还有其他限制条件吗？（挖掘隐含）（7）结果符合实际问题要求吗？（反思终审）通过不断地训练，将学生原先无序的审题活动逐渐转变为规范化地自控地心理行为，培养学生养成良好的审题习惯，达到审题行为习惯的提升.［4］

3.以审题训练为抓手，提高学生的审题能力

数学审题能力的高低，直接反映了学生的数学解题能力和学习数学的水平.在初步理解题意后，开始准备解题，这时就要寻找题目的突破口，挖掘已知和所求的内在联系，使条件向结论逐渐靠近的过程，在向前推导的同时注意观察，在不断试探中寻找解法.审题是严谨的思维活动，它贯穿于整个解题过程的前后，在解完题后，一定让学生养成回头望的习惯，看是否挖出了参数所含的制约条件，是否挖出了问题表述中的隐含条件，是否挖出了问题叙述中暗示的解题突破口.要提高学生审题能力，首先要培养学生的审题意识，其次教会学生程序化的审题，最后还要让学生养成反思终审的习惯.经过长期地训练，学生就会养成良好的审题习惯，练就良好的审题直觉，把握正确的方向，形成正确的审题意识，提升自身的审题能力.

1.沈宏.高中数学易错题的分类与成因分析［J］.中学数学月刊，2015（12）.

2.汪显林.中学数学解题纠错实用宝典［M］.西安：陕西师范大学出版社，2014.

3.葛光.跨越导数误区实现高效学习——例析导数学习中的错解［J］.中学数学（上），2016（2）.

4.罗增儒.数学审题审什么，怎么审？［J］.中学数学教学参考（上），2012（4）.Z

*本文是2015年陕西省教育学会一般课题“高中学生数学审题失误的原因与对策研究”（编号：SJHYBKT2015315-02）的研究成果.