如何巧解高中数学选择题

筅江苏省常熟市浒浦高级中学　杨广娟

如何巧解高中数学选择题

筅江苏省常熟市浒浦高级中学杨广娟

选择题以其“题型小、检面宽、解法活、过程简、批阅便”等特点为各种考试所青睐.高中数学试卷中选择题的比重较大，是不容小觑的一种题型.做好数学选择题的关键，不仅要有高的质量还要有快的速度.如何既快又准地解答选择题是困扰学生的一大难题，解决这一难题的法宝就是必须掌握科学的解题方法.美国著名数学家波利亚说过：“掌握数学就意味着要善于解题.”因此，除熟练掌握基本知识，提高运算能力之外，还需要充分运用各种数学思想巧解选择题.这里根据笔者多年的教学经验和实践所得总结几种巧解选择题的方法，希望能够引起学生的重视，增强数学素质，使学生具有数学头脑和眼光，以期提高解题的速度和正确率.

一、直接法

直接法是高中数学解答选择题常用的方法，此种方法适用于运算不太复杂、相对简单的题目，或者是涉及概念、性质的理解和辨析的题目.直接法应用范围广泛，很多学科都普遍采用，主要考查学生最基本的解题能力，是考验基本功的重要环节.运用好此种方法先要从题设条件出发，认真审题，再结合学过的有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照所给的选项答案“对号入座”做出相应的选择.这种方法能够培养谨慎，细心的做题习惯，避免不必要的丢分.

例1设f′（x）、g′（x）分别为f（x）、g（x）的导函数，且满足f′（x）g（x）+f（x）g′（x）<0，则当a

A.f（x）g（b）>f（b）g（x）B.f（x）g（a）>f（a）g（x）

C.f（x）g（x）>f（b）g（b）D.f（x）g（x）>f（b）g（a）

简析：直接通过已知条件构造函数F（x）=f（x）g（x），则F′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）<0，知道F（x）在（a，b）内单调递减，有F（x）>F（b），即f（x）g（x）>f（b）g（b），则得出正确答案C.这种直接推断的方法不绕弯子，简单明了，技巧性不是很强，但是需要基础知识的扎实掌握，需要同学们把书读透，深刻理解基本概念、公式、结论的内涵和外延，并逐渐掌握它们的使用方法.这一点是很容易被学生忽视的，很多人认为考试不可能让默写某个概念或公式，所以复习时常常一带而过，对这部分知识采取轻蔑的态度，而没有考虑到很多时候出题者是利用这些概念或公式考查学生解决问题的能力.这种灵活运用公式、概念的能力只有也只能通过反复做题来获得，所以建议广大学生要保证做一定数量的此类题目.

另外，平时做题曾经求证过的而书上没有的结论也可以直接拿来用.比如，三棱锥的侧棱两两垂直则顶点在底面的射影是底面三角形的垂心，记住它，那么每当出相关的题时，你会感觉比较敏感，直接推出一些有用的结论，不仅节约时间，还提高了效率.

二、配方法

当我们面临一道内容抽象不易捉摸的题目时，配方法就像魔法棒一样，可以帮助我们化难为易，化繁为简.简单说配方法就是利用完全平方公式对数学式子进行一种定向变形，把一个式子或部分式子配成完全平方的技巧.当原题抽象有难度时，我们不妨设法把它转化为形象鲜明、直观具体的问题，以便凭借事物的形象把握题中所涉及的各对象之间的细微关联，也就是通过配方架起一道已知和未知的桥梁，从而化繁而简，找到原题的解题思路.何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方，它是数学重要的方法和技巧.

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方新形势.

如：（1）a2＋b2＝（a＋b）2-2ab＝（a-b）2＋2ab；

（2）a2＋ab＋b2＝（a＋b）2-ab＝（a-b）2＋3ab＝

（3）a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝（（a＋b）2＋（b＋c）2＋（a＋c）2）；

（4）a2＋b2＋c2＝（a＋b＋c）2-2（ab＋bc＋ca）＝（a＋b-c）2-2（ab-bc-ca）＝……

结合其他数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式.

例2方程x2＋y2-4kx-2y＋5k＝0表示圆的充要条件是（）.

A?1

C.k∈RD.k＝?或k＝1

简析：配方成圆的标准方程形式（x-a）2＋（y-b）2＝r2，解r2>0即可，选B.

三、图解法

数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.有些涉及数量关系的选择题目，用代数方法求解，道路崎岖曲折，计算量偏大，消耗时间，而用图形分析相关的数量效果则大不一样.图像提供的信息让人感觉更直观，从而大大降低思维难度，是解决数学选择题的又一有效方法.图解法简单说就是根据题意，画出相关的图形，然后根据图形的画法及相关性质、特征，得出结论.其本质就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题转化为图形问题，利用图形的直观性，再辅以简单计算，确定正确答案.图解法贯穿重要数学思想——数形结合思想，这种解法以简驭繁，使抽象内容形象化，复杂关系条理化，有很大的实用性.

例3已知偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x-1），且x∈［0，1］时，f（x）=x，则方程f（x）=log3x的解的个数为（%）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

简析：用图解法.根据题意，函数的最小正周期T=2，则画出图像（图1），由图像观察得知，符合题意的选项是C.

图1　

图解法只需画出草图，然后根据图形的形状、位置、性质、综合特征等得出正确答案，省时省力，方便快捷.不过运用这种方法是一定要对有关函数图像、方程曲线、几何图形有较深的了解，否则图像运用错误必然会误导结论，得不偿失.

四、特殊值法

当我们面临一道难以直接入手的一般性题目时，可以考虑迂回战术，尝试从一般情况中寻找特殊的部分.就是考查包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，这个简单的特殊问题解答起来容易、快捷，接着从特殊问题的研究中，拓宽解题思路，发现解答原题的方式和途径，这就是特殊值法.特殊值法就是用特殊来判断一般规律的方法，我们可以采用一个特殊的值或者是图形来替换题中普遍的条件，如果特殊值成立，那一般情况就成立，特殊值不成立，一般情况也不一定会成立，以此来得出一个结论，然后再对照得出答案.常见的特殊值有特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.特殊值的选择越简单越方便，结果就越清晰越明确，此种方法可以避免复杂的运算过程在短时间内判断对错、大小，不仅降低了学生的计算量，还缩小了答案的选择面，提高了学生的解题效率.这种方法对解决某些定值性选择题特别有效，30%左右的选择题可以选用此种方法.

例4已知二次函数y=ax2+bx+c，且a＜0，a-b+c＞0，则一定有（%）.

A.b2-4ac＞0B.b2-4ac=0

C.b2-4ac＜0D.b2-4ac≤0

简析：当a＜0时，抛物线的开口朝下，且当x=-1时，ax2+bx+c=a-b+c＞0，即y＞0，显然图像与x轴有两个交点，而且我们知道b2-4ac＞0，所以本题的答案应为A.

当正确地选择对象，在题设条件都成立的情况下，用特殊值进行探求，便会得出最佳答案.

总之，除上述介绍的方法外，还有如估算法、极限法、逻辑法等.关于方法的选择要在实践中具体问题具体分析，根据不同题目类型的典型特点选择最有效、最便捷的解题方法.如果对每一道选择题都能做到优化，则可以为后面大题的求解节省很多宝贵的时间，做到时间的合理分配，质量的准确高效.所以，平时要对选择题的解法不断进行总结，努力掌握，灵活运用，提高解题能力，促进数学素质快速培养，以便有十足的把握备战高考.F