一组怪异不等式的统一推广

筅浙江省元济高级中学　张艳宗

筅浙江省海宁市上海外国语大学附属宏达高级中学　赵燕明

一组怪异不等式的统一推广

筅浙江省元济高级中学张艳宗

筅浙江省海宁市上海外国语大学附属宏达高级中学赵燕明

文［1］用待定系数法分别证明了一类“怪异”不等式：

题2（2011年第二届陈省身杯数学数学奥林匹克竞赛）对任意x，y，z∈R，求证：-（x2+y2+2z）2≤3xy+yz+

文［2］对题1、题3以及题2右半部分加以推广，得到以下结论：设λ>0，μ>0，x，y，z∈R，则λxy+yz+zx≤

笔者反复研磨以上三个问题，受题2及文［3］启发，思考两个问题：（1）此不等式能否推广到更一般的情形？（2）此不等式是否存在下界？

以上三个问题都可转化为如下问题：若实数x，y，z不全为零，a，b，c，m，n，p为正实常数，求f（x，y，z）=的范围.①

经过探究，笔者得到以下结论：

结论若a，b，c为正常数，实数x，y，z不全为零，λ，μ分别是关于k的方程k3-（a2+b2+c2）k-2abc=0的最小实根和最大实根，则

证明：令h（k）=k3-（a2+b2+c2）k-2abc，则h′（k）=3k2-（a2+b2+c2）.

令h′（k）=0，解得k1=-

又h（a）=-a（b+c）2<0，h（b）=-b（c+a）2<0，h（c）=-c（a+ b）2<0，从而μ>a，μ>b，μ>c.

h（-a）=a（b+c）2>0，h（-b）=b（c+a）2>0，h（-c）=c（a+b）2> 0，从而λ<-a，λ<-b，λ<-c，即-λ>a，-λ>b，-λ>c.

②式等价于λ（x2+y2+z2）≤2axy+2byz+2czx≤μ（x2+y2+ z2）.③

先证③式右边.

其等价于μx2-2x（ay+cz）+μ（y2+z2）-2byz≥0.

由于μ>0，欲使得其对任意实数x都成立，

则Δx=4（ay+cz）2-4μ［μ（y2+z2）-2byz］≤0，

其等价于（a2-μ2）y2+2（ac+bμ）yz+（c2-μ2）z2≤0对任意实数y都成立.

由于μ>a，则Δy=4（ac+bμ）2z2-4（a2-μ2）（c2-μ2）z2≤0，

其等价于z2μ［μ3-（a2+b2+c2）μ-2abc］≥0对任意实数z都成立.

由于μ>0，μ3-（a2+b2+c2）μ-2abc=0，其显然成立，从而③式右边得证.

再证③式左边.

其等价于λx2-2x（ay+cz）+λ（y2+z2）-2byz≤0.

由于λ<0，欲使得对任意实数x都成立，

则Δx=4（ay+cz）2-4λ［λ（y2+z2）-2byz］≤0，

其等价于（a2-λ2）y2+2（ac+bλ）yz+（c2-λ2）z2≤0对任意实数y都成立.

由于|λ|>a，则Δy=4（ac+bλ）2z2-4（a2-λ2）（c2-λ2）z2≤0，

其等价于z2λ［-λ3+（a2+b2+c2）λ+2abc］≤0.

花生青枯病在干旱或多雨情况下发生严重,发病盛期一般在花生盛花期前,通常日平均气温稳定在20摄氏度以上, 5厘米深处土温稳定在25摄氏度以上时开始发病,旬平均气温稳定在25摄氏度以上，土温达30摄氏度时进入盛发期,阴雨或暴雨骤睛,花生青枯病有可能大发生。

由于λ<0，λ3-（a2+b2+c2）λ-2abc=0，其显然成立，从而③式左边得证.

利用以上结论，可将题1加强为：

题3可加强为：

对任意x，y，z∈R，则-（x2+y2+z2）≤xy+

文［1］从题1、题2出发，提炼出如下“母不等式”：

设a，b，c∈R+，对任意实数x，y，z，则x2+y2+z2≥

由此结构联想到著名的嵌入不等式：

若A，B，C是三角形的三个内角，x，y，z∈R，则

x2+y2+z2≥2xycosA+2yzcosB+2zxcosC.

将以上两式比较，发现④式其实是嵌入不等式在锐角三角形下的代数形式.

在△ABC中，恒有cos2A+cos2B+cos2C+ 2cosAcosBcosC=1.若A，B，C是锐角三角形的三个内角，则cosA>0，cosB>0，cosC>0.令cosA=，将其代入嵌入不等式中，即得到④式.

利用以上结论，可给出④式的下界，即：设a，b，c∈R+，对任意实数x，y，z，p（x2+y2+z2）≤

1.刘晓东.也谈“怪异”不等式的证明［J］.中学数学教学参考（上），2015（11）.

2.雷安俊.“怪异”不等式的统一证明及推广［J］.中学数学教学参考（上），2016（1-2）.

3.张艳宗，徐佳月.逆向思考，创新思维——也谈柯西不等式一个变式的应用［J］.中学数学（上），2015（1）.Z