筅浙江省元济高级中学 张艳宗
筅浙江省海宁市上海外国语大学附属宏达高级中学 赵燕明
一组怪异不等式的统一推广
筅浙江省元济高级中学张艳宗
筅浙江省海宁市上海外国语大学附属宏达高级中学赵燕明
文[1]用待定系数法分别证明了一类“怪异”不等式:
题2(2011年第二届陈省身杯数学数学奥林匹克竞赛)对任意x,y,z∈R,求证:-(x2+y2+2z)2≤3xy+yz+
文[2]对题1、题3以及题2右半部分加以推广,得到以下结论:设λ>0,μ>0,x,y,z∈R,则λxy+yz+zx≤
笔者反复研磨以上三个问题,受题2及文[3]启发,思考两个问题:(1)此不等式能否推广到更一般的情形?(2)此不等式是否存在下界?
以上三个问题都可转化为如下问题:若实数x,y,z不全为零,a,b,c,m,n,p为正实常数,求f(x,y,z)=的范围.①
经过探究,笔者得到以下结论:
结论若a,b,c为正常数,实数x,y,z不全为零,λ,μ分别是关于k的方程k3-(a2+b2+c2)k-2abc=0的最小实根和最大实根,则
证明:令h(k)=k3-(a2+b2+c2)k-2abc,则h′(k)=3k2-(a2+b2+c2).
令h′(k)=0,解得k1=-
又h(a)=-a(b+c)2<0,h(b)=-b(c+a)2<0,h(c)=-c(a+ b)2<0,从而μ>a,μ>b,μ>c.
h(-a)=a(b+c)2>0,h(-b)=b(c+a)2>0,h(-c)=c(a+b)2> 0,从而λ<-a,λ<-b,λ<-c,即-λ>a,-λ>b,-λ>c.
②式等价于λ(x2+y2+z2)≤2axy+2byz+2czx≤μ(x2+y2+ z2).③
先证③式右边.
其等价于μx2-2x(ay+cz)+μ(y2+z2)-2byz≥0.
由于μ>0,欲使得其对任意实数x都成立,
则Δx=4(ay+cz)2-4μ[μ(y2+z2)-2byz]≤0,
其等价于(a2-μ2)y2+2(ac+bμ)yz+(c2-μ2)z2≤0对任意实数y都成立.
由于μ>a,则Δy=4(ac+bμ)2z2-4(a2-μ2)(c2-μ2)z2≤0,
其等价于z2μ[μ3-(a2+b2+c2)μ-2abc]≥0对任意实数z都成立.
由于μ>0,μ3-(a2+b2+c2)μ-2abc=0,其显然成立,从而③式右边得证.
再证③式左边.
其等价于λx2-2x(ay+cz)+λ(y2+z2)-2byz≤0.
由于λ<0,欲使得对任意实数x都成立,
则Δx=4(ay+cz)2-4λ[λ(y2+z2)-2byz]≤0,
其等价于(a2-λ2)y2+2(ac+bλ)yz+(c2-λ2)z2≤0对任意实数y都成立.
由于|λ|>a,则Δy=4(ac+bλ)2z2-4(a2-λ2)(c2-λ2)z2≤0,
其等价于z2λ[-λ3+(a2+b2+c2)λ+2abc]≤0.
花生青枯病在干旱或多雨情况下发生严重,发病盛期一般在花生盛花期前,通常日平均气温稳定在20摄氏度以上, 5厘米深处土温稳定在25摄氏度以上时开始发病,旬平均气温稳定在25摄氏度以上,土温达30摄氏度时进入盛发期,阴雨或暴雨骤睛,花生青枯病有可能大发生。
由于λ<0,λ3-(a2+b2+c2)λ-2abc=0,其显然成立,从而③式左边得证.
利用以上结论,可将题1加强为:
题3可加强为:
对任意x,y,z∈R,则-(x2+y2+z2)≤xy+
文[1]从题1、题2出发,提炼出如下“母不等式”:
设a,b,c∈R+,对任意实数x,y,z,则x2+y2+z2≥
由此结构联想到著名的嵌入不等式:
若A,B,C是三角形的三个内角,x,y,z∈R,则
x2+y2+z2≥2xycosA+2yzcosB+2zxcosC.
将以上两式比较,发现④式其实是嵌入不等式在锐角三角形下的代数形式.
在△ABC中,恒有cos2A+cos2B+cos2C+ 2cosAcosBcosC=1.若A,B,C是锐角三角形的三个内角,则cosA>0,cosB>0,cosC>0.令cosA=,将其代入嵌入不等式中,即得到④式.
利用以上结论,可给出④式的下界,即:设a,b,c∈R+,对任意实数x,y,z,p(x2+y2+z2)≤
1.刘晓东.也谈“怪异”不等式的证明[J].中学数学教学参考(上),2015(11).
2.雷安俊.“怪异”不等式的统一证明及推广[J].中学数学教学参考(上),2016(1-2).
3.张艳宗,徐佳月.逆向思考,创新思维——也谈柯西不等式一个变式的应用[J].中学数学(上),2015(1).Z