改善思考问题方法提高学生解题能力

筅江苏省锡东高级中学　叶琳

改善思考问题方法提高学生解题能力

筅江苏省锡东高级中学叶琳

数学教学目标之一就是培养学生适应未来生活发展所必需的数学素养，发展智能的同时提高人的素养和解决实际问题的能力.然而出于高考和升学的压力，学生整天在大量的习题中度过，成为解题的“熟练工”，不少学生把解题规律简单化为“对题型，套解法”，以做大量的模拟试题去代替数学能力的提高，但是往往成效不大，疲惫不堪.笔者对本校高三学生通过不同方式进行了实证调查，深入访谈和持续关注，发现学生在解题活动中往往出现如下几个问题：

一、学生解题过程中常见的几个问题

1.已有知识缺乏，解题经验不足

学生己有的知识、能力和经验构成了自身的认知结构，它是接受新知识的基础，调查中发现很多学生的数学知识和能力基础比较薄弱，存在支离破碎的甚至错误的知识.在解题读题时学生对题目的条件及问题设问的形式陌生，特别是遇到新情境的问题更是束手无策.

案例1（直线与圆的复习课片断）若a，b，c成等差数列，点P（-1，2）在直线l：ax＋by＋c＝0上的射影为M，则点N（-，1）到点M的距离的最大值为_____

图1　

教学片断回放.（学生分析思考过程）

生：a，b，c成等差数列，得到2b= a+c，设点M（x0，y0），则ax0+by0+c=0.又因为PM⊥l，所以"=-1.后面就想研究点N到点M（x0，y0）的距离d=，上面的三个等式却不知道怎么用.

师：距离d里面有x0，y0两个变量，求最值首先想到消元，但发现行不通，直线ax0+by0+c=0的变量更多，怎么用2b=a+c这个条件呢？（学生陷入困惑）

师：将2b=a+c可以代入直线方程，变成ax＋by＋2b-a＝0，能发现什么？

生：a（x-1）＋b（y-2）＝0，直线l恒过定点Q（1，2）.

师：由PM⊥l可以得到什么？

生：射影点M的轨迹是“以PQ为直径的圆”，方程为x2+（y-2）2=1（.如图1）

2.读题审题不细致

认真细致地审题是解题的第一步，也是解题成功的必要前提.著名数学教育家波利亚说：“最糟糕的情况是学生没弄清问题就进行演算和作图.”事实发现，学生常对审题掉以轻心，对题目中容易混淆的词语认识不到位，产生错解.还有很多学生解题时审题速度很快，有的没看完题目就匆匆下笔，认为这样节省解题时间，事实上，审题时条件和结论之间的联系都没有分析清楚，往往导致解题的失败.

案例2（高三某次模拟试卷填空题第6题）在区间［-2，2］上任取两个整数a，b，使得关于x的方程x2-2axb2+1=0有实数根的概率是_______________.

学生解答如下：x2-2ax-b2+1=0有实数根满足Δ= 4（a2+b2）-4≥0，即a2+b2≥1，由几何概型得到概率为

上述问题考查的是有关概率的问题，我们可以看出学生能够将题目条件正确转化为数学语言，但是很多学生在读题时忽略了“整数a，b”，而看成是在区间［-2，2］上取两个实数a，b，本来属于古典概型的问题却当作几何概型来处理，导致解题失误.

3.解题后不善于归纳和整理

学生通过整理解题的不同方案，自我纠正错误，错题整理，培养学生的发散思维，巩固知识和技能，渗透数学思想.事实上我们的学生不善于将问题进行归纳和整理，很多只是零碎的解题方法，形不成知识网络和解题脉络.

案例3（高三某次模拟考试第18题）在等差数列｛an｝中，Sn是其前n项的和，已知a2，a5，a14成等比数列，且S20=400.

（1）求数列｛a｝n的通项公式；

（2）求和：a1+a4+a7+…+a3n+1.

对于第（1）问很多学生的解题过程如下：

等差数列的公差d是否为零，是学生容易遗忘的知识点，学生在求解6a1d=3d2时“毫不犹豫”地将d=0约去，不考虑常数列的情况，诸如此类的情况还有：ax2+bx+c=0的方程或者不等式中，容易遗漏a=0的情况，等比数列求和公式中公比q是否为1的情况.尽管学生在平时的学习过程中对于此类问题已经是很熟悉的，但是由于没有及时地归纳整理，只是形成了表面知识记忆，没有形成知识网络结构.

二、提高学生解题能力的途径

数学教学的重要任务是提高数学解题能力，这一任务应该贯穿于教学始终，它是一项长期复杂的系统工程.笔者尝试将波利亚的解题表具体化到可操作的步骤：读题分析—提取组合—解题反思，并付诸于教学实践，检验对提高学生的解题能力是否有帮助.

1.读题审题训练，生成合理的问题表征

解题教学的关键是指导帮助学生恰当地进行问题表征，寻找解题突破口，让学生学会分析问题，而非就题论题.在教学过程中，笔者指导学生读题时要密切注意以下几个方面：（1）要将题目转化为数学题目，比如说实际问题（像应用题），要从题目中大量的文字语言描述转化为数学语言描述出来，要弄清楚问题是属于哪个数学内容的.（2）列出题目中所给出的条件和要求的.（3）搜索缩小条件和要求的范围.结合已有的认知结构，确定判断题目条件和问题中所涉及的知识点，可以用什么方法或者技能来解决.在审题时要兼顾条件与结论，这样有利于“弄清问题”.

图2　

案例4（学生的读题审题训练）如图2，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在△BCD内运动（含边界），设，则α+β的取值范围是___________.

读题分析：首先，题目本身就是数学语言阐述的题目，故不需要将其转化为数学问题.

其次，条件有5个：“直角梯形ABCD”，“AB⊥AD”，“AD=DC=1，AB=3”，“点P在△BCD内运动（含边界）”，；问题是“求α+β的取值范围”.

最后，明确条件和问题之后，开始判断它们的范围，“点P在△BCD内运动”，故点P的范围在三角形内，可能要用到线性规划来解决.

在教学过程中，笔者要求学生在读题时养成把题目条件圈出来的习惯，很多学生读题很马虎，一目十行，题目还没看完就下笔去做，结果不是条件漏看了就是看错了，导致解题错误.匆匆读题后就急于下手，对问题的意义、涉及的概念、相关的知识都不甚理解，解题也就极易出错.读题时圈出条件，从视觉感知变得强烈起来，二遍读题或者审题时可以关注圈出来的条件，减少审题马虎导致的错误.

2.有效提取组合，拟定解题方案

学生要有一定的知识储备和解题经验的积累，才有可能形成解题思路.费里德曼说解题就是把题归结为已经解过的题.解过的题形成了自己的解题经验，主要包括题目的类型与模型的积累，解题方法与技巧和数学思想方法的积累.

数学问题解决的最基本形式就是化归，把未知的问题化为已知的问题，把非典型的问题化归为典型的问题.在和学生尝试利用波利亚解题模式解题时，笔者给学生这样的解题步骤：①读题的同时圈条件，将文字转化为数学语言，列出条件和问题；②读题以后，你马上想起的数学知识有哪些？你从已知、题设能想到什么？从结论中考虑需要什么信息？这两者如何产生火花？

在实施这样的解题步骤的过程中，班级的学生由不习惯到慢慢适应，在课堂教学中思维也渐渐活跃起来，一次的习题讲评课让笔者至今记忆犹新！实录如下：

案例5如图（图3）放置的边长为1

的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、

y轴正半轴上（含原点）滑动，则OAAB·OAAC

的最大值是_____________.

笔者在呈现出题目后，找学生起来

读题，学生分析完条件后给出了自己的思路：老师我用平面向量基本定理做的（其中α是的夹角），故得到最大值为2.

图3　

笔者：很好，Z同学从结论出发利用向量基本定理来处理这个问题，过程严谨，表述规范，是同学们学习的榜样！话音刚落，教室里讨论声想起来，生H站起来：“老师她的解法烦了，我是用平面几何做的，会很省力的哦.”

图4　

这样的百家争鸣的场景正是笔者需要的，笔者：“真的吗？说说你是怎么做的？”

生H：过B、C分别作x轴、y轴的垂线，交坐标轴于M、N两点（如图4），设AO=a，OD=b，可以证明△AOD，△BAM，△CAN全等，所以OD=AM=CN，OA=DN=BM，设B（a+b，a），C（b，a+b），所以的最大值是2.

此时生M举手：“老师我是用矩阵变换做的！”“矩阵变换也可以做？”很多同学的脸上呈现惊讶的表情，（矩阵变换是附加里面的内容）笔者也拿不准思路究竟对不对，就让学生继续往下说，设A（a，0），D（0，b），则x，y）可以看作是绕A点顺时针旋转90°，（x，y）=≥，求得B的坐标后，同理求C的坐标，最后用数量积的坐标表示，求得答案.下面不由自主地响起了掌声.

教学活动中老师应充分展示学生的思维过程，培养学生的创造精神和探索精神，当然教师的引领十分重要，对于学生易混淆的问题，要通过变式问题不断强化，不断地练习，让学生来领悟其中的解题奥妙，学会从多角度思考问题的方法.

3.适时解题回顾与反思，温故而知新

在学生的问题解决过程中，往往只是用来正确和错误地判断自己的答案，而不是认真思考解决问题的过程中所用知识、方法.对于错的题目等老师公布标准答案，把它抄到笔记本上就没事了，事实上没有反思的解题是不完整的.

解题结束后笔者让学生总结，首先，回顾解本题用到哪些知识？其次，回顾本题的解题方法是什么？在思考过程中哪里出现了思路中断或者受到阻碍的原因是什么？在哪里遇到了什么困惑？如何处理的等.解题结束后笔者和学生一起分析回顾解题中零星的想法和凌乱的解题思路，梳理解题过程，揭示解题的盲点，突破自己的解题障碍，久而久之，就可以总结出带有规律性的经验，可以是解题策略，解题元认知知识等，它们都是今后解题的经验指南.

以上是笔者选择高三的学生进行的教学尝试，主要是想通过学生的解题表现，发现其解题能力的长处和不足之处，而这正是整个高中数学教学结果的体现，从而据此能更好地为高中数学解题教学提供参考建议.

1.董荣森，姚敬东.细化概念教学过程揭示数学本质——以“三角函数的周期性”教学设计为例［J］.中学数学（上），2015（10）.

2.孔帮新.基于多元表征视角下的解题教学［J］.中国数学教育，2015（12）.

3.史晓伟.高中生数学解题能力培养的教学策略研究［J］.数学教学通讯，2014（6）.F