分类整合法在高中数学解题中的应用探析

筅江苏省宜兴市丁蜀高级中学　黎明

分类整合法在高中数学解题中的应用探析

筅江苏省宜兴市丁蜀高级中学黎明

分类整合法是数学解题中的基本方法，其不但能提高学生解题的成功率，而且还可有效锻炼学生思维的严密性.文章就分类整合法在高中数学解题中的应用加以探析，旨在充分发挥分类整合法的作用，提高高中学生的数学解题能力.

分类整合法，简单来说就是将题目中的各个参数按某一数学标准进行分类并加以讨论，然后再将分类讨论后的结果进行总结归纳，最终解决题目设问的一种方法.在应用分类整合法时要做到科学分类，分类不重复、不遗漏，掌握基本的分类原则和方法，这样才能真正发挥分类整合法的作用.以下就以实例来说明分类整合法在高中数学解题中的应用.

一、分类整合法应用于函数

在函数问题中，参数值往往是一个变量，参数值的变化会影响结果的变化，因此在解决此类问题时通常要对参数进行分类讨论，利用分类整合法可有效简化问题，从而使学生能快速、灵活地解答问题［1］.

例1当m＝______时，函数y＝（m＋3）x2m＋1＋4x-5（x≠0）为一次函数.

解：（1）当2m＋1＝1且m＋3＋4≠0时，即m＝0时，此函数为y＝7x-5，此时为一次函数；

（3）当m＋3＝0时，即m＝-3时，此函数为y＝4x-5，此时为一次函数.

在此题中，要求解的是函数为一次函数的情况，在此前提下，（m＋3）x2m＋1可以是一次项、常数项，或者为零，针对三种不同的情况要进行分类讨论才能做到不遗漏、不重复地将此题完全解决.

二、分类整合法应用于概率

概率计算问题本身就需要依据所设问题按要求将问题中可能出现的情况进行分类分析，然后再对分析结果进行整合，从而得出所设问题事件发生的个数.

例2设集合I＝｛0，2，4，6，8｝，选择I的两个非空子集A和B，若要使子集合B中的最小数大于子集合A中的最大数，问有多少种不同的选择方法？［2］

分析：通过题目已知的条件可知，在解答此题时要特别注意必须符合以下两个条件：（1）A和B都为非空子集；（2）子集合B中的最小数要大于子集合A中的最大数，如何才能做到在满足这两个条件的基础上使答案不会重复或遗漏呢？很显然最佳的方法便是分类整合法.

解：（1）假设子集合B中的最小数为2，那么子集合A就只有1种选择方法，即A＝｛0｝，而子集合B则有8种选择方法，即子集合B中可以有4，6，8三个数中一个或几个的组合，但也可以没有任何一个；

（2）假设子集合B中的最小数为4，那么子集合A有3种选择方法，即A＝｛0｝，A＝｛2｝或A＝｛0，2｝，而子集合B则有4种选择方法，即子集合B中可以有6，8两个数中的一个或两个，但也可以没有任何一个；

（3）假设子集合B中的最小数为6，那么子集合A有7种选择方法，即A是集合｛0，2，4｝的非空子集，而子集合B则有2种选择方法，即子集合B中可以有8或是没有8；

（4）假设子集合B中的最小数为8，那么子集合A有15种选择方法，即A是集合｛0，2，4，6｝的非空子集，而子集合B中只有1种选择方法，即B＝｛8｝.

最后将进行分类计算的结果进行整合，就可知此题答案为1×8＋3×4＋7×2＋15×1＝49，即共有49种选择方法.

三、分类整合法应用于数列

数列问题中的数列周期性、等比数列求和通常都会采取分类整合法进行分析和解决.分类整合法在数列问题中有着广泛的应用.

例3若等比数列｛an｝的公比为q，前n项的和Sn＞0（n＝1，2，3，…），那么q的取值范围为_______.

解：由｛an｝为等比数列且Sn＞0可知，a1＝S1且a1＞0，而q≠0，

当q＝1时，Sn＝na1＞0；

在对此题进行分析时要注意，因等比数列的求和公式中包括两种情况，即q＝1和q≠1，而此题未明确q的范围，因此在分析时应进行分类讨论，而不能直接套用基本求和公式

四、分类整合法应用于不等式

不等式中题设所求参数通常也存在很大的变化，参数取值不同，题设所得到的结果也会有所不同.因此，在解决不等式问题时，也可引入分类整合法.

例4设k∈N*，求满足不等式|m|+|n|

解：本题的情况相对复杂，很难直接给出解答结果，不妨将k作为变量参数，整数解的组数用k来表示并设为g（k）.首先讨论特殊情况，然后再分析此题的计算规律，接着作出猜想，最后再将所得出的结论进行证明.

当k＝1时，不等式有解且其解为（0，0），此时有g（1）＝1；

当k＝2时，不等式有解且其解为（0，0），（0，±1）或（±1，0），此时有g（2）＝1＋4＝5；

当k＝3时，不等式有解且其解为（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±1，±1）或（±2，0），此时有g（3）＝1＋4＋4×2＝13；

当k＝4时，不等式有解且其解为（0，0），（0，±1），（0，±2），（0，±3），（±1，0），（±1，±1），（±2，0），（±3，0），（±1，± 2），（±2，±1），此时有g（3）＝1＋4＋4×2＋4×3＝25.

由此我们可猜想：g（k）＝1＋4×1＋4×2＋4×3＋…＋4（k-1）＝1＋2k（k-1），

从而推出递推公式g（k）＝g（k-1）＋4（k-1）.

在解决不等式问题时，通常是采取分类的方法，根据题目已知代入特殊情况，通过分析特殊情况的计算规律，采取整合的方式得出题设问题的最终答案.

五、分类整合法应用于几何问题或证明题

图1　

几何问题是高中数学的重点和难点，几何问题多以证明题方式出现.通常几何问题中都会设置一个可变参数，使学生难以着手解决，为此可采取分类整合法来进行分析，先分析普遍情况，然后再结合题设来分析具体的问题.

例5如图1，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内任意一点，且∠AOB＞∠AOC.

证明：OB＜OC.

分析：三角形中有大边对大角、小边对小角的理论，本题就需利用这一理论进行证明，首先分析普遍情况，然后再依据所得出的结论进行分类讨论，最后将讨论结果进行整合，得出最终结论，进行最后的证明.

证明：设∠AOB＝α1，∠AOC＝α2，∠ABO＝β，∠ACO＝γ，

因为AB＝AC，

又因为∠AOB＞∠AOC，即α1＞α2，且α1＋α2＞180°，

所以90°＜α1＜180°，0°＜α2＜180°.

在此情况下，sin α2为非单调函数，需分类进行讨论：

（1）当α2≥90°时，

因为α1＞90°，且α1＞α2，则有sin α1＜sin α2，

所以sin β＜sin γ，且β，γ＜90°，则有β＜γ.

（2）当α2＜90°时，

因为α1＞90°，则有180°-α1＜90°.

又由α1＋α2＞180°，可得α2＞180°-α1.

所以sin α1=sin（180°-α1）

所以sin β＜sin γ，且β，γ＜90°，则有β＜γ.

由题目已知可得∠ABC＝∠ACB，∠OBC＞∠OCB，

所以OB＜OC.

在本题中，由普遍情况出发，在讨论了一般情况之后，再针对所得出的结论进行分类讨论，将可能出现的情况一一罗列并进行证明，最后整合所有证明结果得出最终结论.

六、分类整合法应用于不确定图形

在高中数学解题中，因图像、图形或点的位置不明确，可能存在多种情况，如二次函数图像的顶点问题、空间图形的位置关系、曲线与曲线的关系等，所以也需进行分类讨论，从而保证图形的最终确定.

例6设k∈R，那么方程（8-k）x2＋（k-4）y2＝（k-4）·（8-k）所表示的曲线是什么？

解：（1）当k＝4时，原方程为4x2＝0，则x＝0，此时方程表示直线；

（2）当k＝8时，原方程为4y2＝0，则y＝0，此时方程表示直线；

若k＜4，则方程表示为双曲线；

若4＜k＜6，则方程表示为椭圆；

若k＝6，则方程表示为圆；

若6＜k＜8，则方程表示为椭圆；

若k＞8，则方程表示为双曲线.

这种分类整合的方法不但囊括了题设参数所有可能存在的情况，而且通过对不同情况的分析还能进一步证明所分析情况的正确性.

分类整合法是高中数学解题中常用的一种方法，将分类整合法应用于高中数学解题中，不但可提高学生分析问题和解决问题的能力，而且还可培养学生的数学思维，有利于提高学生解题过程中思维的缜密性和灵活性，帮助提高学生的学习效率.在教学过程中，教师应鼓励学生多利用分类整合法来解决问题，从而促进学生未来学习的发展.Z