从函数性质的角度谈函数形式的分析方法

肖君伟

函数形式的简洁性和抽象性是函数学习中的重要特点，正是由于这种原因，函数形式的分析成为学生学习的瓶颈。函数的性质作为函数形式的集中体现是研究函数形式表达的很好的窗口。本文将通过对定义抽丝剥茧的分析，找到定义的实际内涵，同时为学生分析函数形式拓展提供一种通用的方法。

一、f（x）与y的区别

在研究函数性质之前，先弄清楚f（x）的意义，f（x）是指以x为自变量，对应法则为f，得到的函数值为f（x）。例如：f（1）表示自变量的值取1，对应法则为f，对应的函数值为f（1）。这里的对应法则f是一个抽象的概念，当对应法则具体的情况下，如f（x）=|x+3|-6，这时就说明对应法则为“自变量加3取绝对值之后再减去6”，相应的f（-7）=-2就是在这种对应法则下得到的结果。

在高中阶段，函数值通常用f（x）和y两个符号表示。根据以上分析可以看出，f（x）能够表达出自变量取到何值时得到相应的函数值，如上题中的f（-7）=-2就是说自变量取-7的时候，相应的函数值为-2。而写成y=-2则只能说明函数值为-2，至于自变量的值则无法体现，有可能是-7也有可能是1。由此可见f（x）表达出的含义要比y表达出的含义具体得多，符号f（x）集中反映了函数的三个基本要素。

分析清楚单调性定义的内涵后，函数单调性反映的图像特征就可以相应地表示出来，自变量越大，对应的值越大，此时作出的图像就是一个从左往右上升的图像，反之所作出的图像就是从左往右下降的图像。

三、对称性和奇偶性的定义分析

课本中只对函数的奇偶性定义描述为：定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）为奇函数；反之，定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）为偶函数。

区别于函数的单调性，奇偶性研究时所取自变量是针对定义域内的任意一个数，而不是定义的某个部分；同时奇偶性研究时，首先取定义域内的两个相反数x和-x，这就说明这两个相反数都必须在定义域中，由此可见定义域必须关于原点对称。由于x和-x对应的值分别是f（x）和f（-x），因此f（-x）=-f（x）表示函数值是相反数，而f（-x）=f（x）表示函数值是相等的。

把符号语言转化为文字语言就是：当自变量相反时，对应的值也相反，说明函数f（x）是一个奇函数；当自变量相反，对应的值相等，说明函数f（x）是一个偶函数。

从以上文字语言分析中不难得出奇、偶函数相应的图像分别是关于原点对称和关于y轴对称的图像。

由于函数的奇偶性是函数对称性的一种特殊情况，因此将函数的奇偶性推广后，可以将函数的对称性定义描述为：定义域内的任意一个x，都有f（a-x）=-f（a+x），那么函数f（x）关于点（a，0）对称；反之，定义域内的任意一个x，都有f（a-x）=f（a+x），那么函数f（x）关于直线x=a对称。

观察到定义中自变量的取值分别为a-x和a+x，可得两个自变量是以a为中点的自变量，一方面说明对称性研究中定义域必须是关于a对称的。另一方面可以拓展为以a为中点的两个自变量。当具备满足条件的两个自变量对应的值为相反数或相等时，相应的都可以得到定义中的结果。如f（2a-x）=f（x）表示f（x）关于直线x=a对称；而f（2-x）=-f（3+x）表示f（x）关于点（2.5，0）对称。

四、周期性的定义分析

课本中对函数的周期性定义的描述为：对于函数f（x），如果存在一个非零实数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T就叫这个函数的一个周期。

周期性中自变量的取值分别是x+T和x，而且x是定义域内的任意一个数，其中的T是一个非零实数，既可以是正数又可以是负数。从x+T和x中可以看出这两个变量的关系是间隔|T|个单位，它们对应的值分别是f（x+T）和f（x）。根据定义，对应值之间的关系是f（x+T）=f（x）。

据此分析可以得出周期性相应的文字语言是：如果间隔为|T|个单位的两个自变量对应的值相等，那么函数f（x）就是周期函数。

由此可见，周期函数是以|T|为单位，图像周而复始不断重复出现。据此可得出，周期函数的周期不止一个，任意一个nT（n∈Z且n≠0）都可以表示该函数的一个周期。

将以上的分析整理成表格如下：

从中可以看出，在研究函数的表达形式时通常由研究范围、定义域、自变量取值方法、对应值的关系及所表现的图像特征几个方面考察，其间还包含符号语言、文字语言和图像语言之间的相互转化，这样的函数形式分析方法同样适用于其他函数形式的分析。