如何求抽象函数的定义域

2022-04-09 13:56叶建勇
语数外学习·高中版上旬 2022年2期
关键词:值域关系式定义域

叶建勇

求抽象函数的定义域问题经常出现各类函数试題中.此类问题较为抽象,题目中通常不会给出具体的函数解析式,要求根据已知条件或函数的值域求其定义域.常见的题型有三种:(1)已知 f x的定义域,求fgx的定义域;(2)已知fgx的定义域,求 f x的定义域;(3)已知fgx的定义域,求fhx的定义域.下面结合实例,重点探讨一下这三类抽象函数定义域问题的解法.

例1.已知函数 f x的定义域为4, 9,求 fx2的定义域.

解:令 u = x2,则 fx2是由 u = x2与 y =f u构成的复合函数,

因为函数 f x的定义域为4, 9,

所以 u = x2∈4, 9,

解得-3≤ x ≤-2或 2≤ x ≤3,

即函数 fx2的定义域为[-3,-2]⋃[2,3].

对于已知函数 f x的定义域,求fgx的定义域问题,需先根据 f x的定义域a, b确定函数gx的值域,即gx∈a, b,通过解不等式 a ≤ g(x)≤ b,得到fgx的定义域.对于本题,我们需由 f x的定义域,确定 u = x2∈4, 9,建立关于 x 的不等式,即可求得 x 的取值范围.

例2.已知函数 fx2- 2x +2的定义域为0, 3,求函数 f x的定义域.

解:令 t = x2- 2x +2,所以 fx2- 2x +2=f t,

因为 fx2- 2x +2的定义域为0, 3,

则 x ∈0, 3,

所以,当 x ∈0, 3时,x2- 2x +2∈1, 5,

因此 f x的定义域为1, 5.

若已知fgx的定义域为a, b,求函数 f x的定义域,需根据fgx的定义域a, b,得到gx的值域,所得的gx的值域即为函数 f x的定义域.

例3.已知函数 y=f(x2-1)的定义域为[-  , ],则函数 y=f(x)的定义域为_____.

解:∵y=f(x2-1)的定义域为[-  , ],

∴ x ∈[-  , ],x2-1∈[-1,2],

∴y=f(x)的定义域为[-1,2].

我们只需根据题意求得 x2-1的取值范围,即可建立关于 x 的不等式,求得函数 y=f(x)的定义域.在解题时,需注意两点:(1)明晰fgx的定义域与 f x的定义域之间的区别;(2)明确fgx中的gx与f x中 x 之间的等价关系.

例4.已知函数 f x +2的定义域是-1, 2,求函数 fx2的定义域.

解:因为 f x +2的定义域是-1, 2,

则-1≤ x ≤2,

因此1≤ x +2≤4,

即函数 f x的定义域为1,4,

令1≤ x2≤4,

解得-2≤ x ≤- 1或1≤ x ≤2,

因此,函数 fx2的定义域为{x|- 2≤ x ≤-1或1≤x ≤2}.

在解答本题时,需明确函数 f x的 x 与函数fx2中 x2的值域之间的等价关系,由此建立关系式,即可解题.若已知fgx的定义域为a, b,求函数fhx的定义域,要根据fgx的定义域得到gx的值域,再根据gx的值域等价于hx的值域来建立不等式,解不等式即可求得fhx的定义域.

虽然函数 y =fgx、y =fhx、y =f x的解析式不相同,但是其对应的法则相同,因此求抽象函数的定义域,关键在于明确 y =fgx、y =fhx、 y =f x中 x、gx、hx的意义及其等价关系,建立相应的关系式,即可求得对应函数的定义域.

(作者单位:湖北省安陆市第二高级中学)

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