欧拉函数φ（n）倒数的渐近公式

石莹

【摘要】本文我们研究欧拉函数φ（n）倒数的渐近公式，基于Melvyn.B.Nathanson的结论：∑n≤x1φ（n）=ologx，我们确定了公式中的主项和余项，得到：∑n≤x1φ（n）=ζ（3）ζ（2）ζ（6）logx+D+oε1x1-ε.这里常数D=γ∑∞d=11dd*-∑∞d=1logd*dd*，其中γ指欧拉常数，d*表示整数d的无平方因子的乘积.

【关键词】 欧拉函数； 渐近公式

【基金项目】2015年江苏省自然科学青年基金项目（BK20151000）

欧拉函数φ（n）是最著名的数论函数之一.φ（n）是1，2，…，n中与n互素的正整数的个数.例如φ（2）=1，φ（6）=2，φ（9）=6.人们不断研究欧拉函数φ（n）的各种性质.关于φ（n）的渐近公式，先有公式∑n≤xφ（n）=3π2x2+r（x），随后在不断地改进公式中的余项r（x）的过程中，得到一些好的结果，比如：φ（n）的平均值就是6nπ2.与此同时，关于欧拉函数φ（n）倒数的渐近公式的研究也备受关注.Melvyn.B.Nathanson首先给出一个有用的结果：∑n≤x1φ（n）=ologx，陈景润先生在证明著名的“1+2”——陈氏定理时，就使用过这一结论.

在本文中，我们改进Nathanson的结果，确定了渐近公式中的主项和余项，得到：

下面，我们就逐一讨论（*）中的每一项.

首先考虑级数∑∞d=11dd*，因为d*表示整数d的无平方因子的乘积，所以整数dd*的素因子的次数都不小于2，于是

∑∞d=11dd*=∏p1+1p2+1p3+…=∏p1+1p（p-1）=∏p1+1p31-1p2-1=∏p1-1p61-1p3-11-1p2-1=ζ（3）ζ（2）ζ（6）.（1）

因此，级数∑∞d=11dd*是收敛的.

接着，讨论（*）式中的第二项.

∑∞[]d=1d*≤x

logd*dd*=∑∞d=1logd*dd*-∑∞[]d=1d*>x

logd*dd*.

因为对任意ε>0，存在常数cε，使得logx≤cεx1-ε成立，所以取ε=12，得到

∑∞d=1logd*dd*≤∑∞d=1cd*dd*=c∑∞d=11dd*=c∏p1+1p1/2（p-1），

其中c是一个常数，所以级数∑∞d=1logd*dd*收敛，令常数c1=∑∞d=1logd*dd*.

又因为

因此，（*）中的第二项的估计就是

然后，讨论（*）中的最后一项.设d=pα11pα22…pαtt，其中pi为素数且αi≥0i=1，2，…，t，所以

最后，我们讨论（*）中第一项级数，由上面（2）可知

【参考文献】

[1]Melvyn B Nathanson.Additive Number Theory[M].Graduate Texts in Mathematics 164，Springer.

[2]潘承洞，潘承彪.初等数论[M].北京：北京大学出版社.