巧求数列的通项公式

赵异荷

摘 要： 高中数学中数列是一个难点，难就难在它的捉摸不定、毫无头绪，作者针对高中数列中求通项公式问题总结一些巧妙求解方法.

关键词： 数列 数列通项 叠加法 累乘法

数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现数列方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，求数列的通项公式是常考的一个知识点，也是数列的一个难点，因此掌握好数列的通项公式求法不仅有利于掌握好数列知识，更有利于在高考中取得好成绩.本文介绍了中学数学中有关巧求数列通项公式的方法.

1.数列的有关概念

数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列（sequence of number），如1，2，4，6，…

数列的项：数列中的每个数都叫做这个数列的项（term）.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….

数列的通项公式：如果数列{a}的第n项与项数之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（the formula of general term）.

等差数列的概念及通项公式：从数列的第二项起，每一项减去前一项所得的差都等于同一个常数，这样的数列称为等差数列，这个常数叫公差，一般用d表示，其通项公式为：a=a+（n-1）d .

等比数列的概念及通项公式：如果一个数列，从第二项起，每一项与其前一项的比等于同一个常数，这样的数列称为等比数列，这个常数叫公比，一般用q表示，其通项公式为：a=aq.

2.巧求数列通项公式的几种方法

数列的通项公式的求法是数列这章的难点，下面我就简单递推数列的通项公式的做法做一些介绍.

2.1叠加法

对于形如a=a+f（n）型的数列，可用叠加法求出通项公式.

例1 已知数列{a}满足a=a+n，a=1，求a.

解析：由a=a+n得：a-a=n，于是有：

a=（a-a）+（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+（a-a）+a

=（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+2+1+a

=1+

所以通项公式为：a=1+.

2.2 累乘法

对于形如a=a·f（n）型的数列，可用此法.

例2 已知数列{a}满足na=（n+1）a，a=4，求a.

解析： a=···…···a

=···…····a

=×4

=2（n+1）

所以通项公式为a=2（n+1）.

2.3 转化为等差数列的求法

对于形如a=ra+r的数列，运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形为f（n+1）-f（n）=A（其中A为常数）形式，根据等差数列的定义知f（n）是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出f（n）的通项公式，再根据f（n）与a的关系，从而求出a的通项公式.

例3：已知数列{a}满足a=2a+2，a=2，求a.

解析：由a=2a+2两边除以2，可化为：

=+1，

设b=，则b=b+1，b=1，根据等差数列的定义知，数列{b}是一个以1为首项，1为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式可得：b=1+（n-1）·1，

由b=可得a=n·2，

所以数列的通项公式为：a=n·2.

2.4 转化为等比数列的求法

形如a=ca+d（d为常数）型的数列，运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待下系数等方法，将递推公式变形为f（n+1）=Af（n）（其中A为非零常数）形式，根据等比数列的定义，求出f（n）的通项公式，再根据f（n）与a的关系，求出的通项公式.

例4：已知数列{a}满足a=2a+3，a=1，求a.

解析：设a+x=2（a+x），对比原式得出，x=3，

设b=a+3，则b=4，说明{b}是一个以4为首项，2为公比的等比数列.

根据等比数列的通项公式得， b=4·2=2，

所以，数列通项公式为a=2-3.

2.5 转化后可用叠加法

对于形如a=a·q的数列，先转化，再用叠加法求通项公式.

例5：已知数列{a}中，a=1，a=a·2，求{a}的通项.

解析：由a=a·2，两边取对数，得：

lga=lga+nlg2

∴lga=（lga-lga）+（lga-lga）+…+（lga-lga）+lga

∴lga=（n-1）lg2+（n-2）lg2+…+lg2+lg1

=lg2[（n-1）+（n-2）+…+1]

=lg2·

=lg2

∴a=10=2

注：此题若取以2为底的对数更简单.

3.结语

对于数列求通项问题，首先看是不是等差或等比数列，如果是直接用公式求解，再看是否可以用叠加法和累乘法，然后再看能否转换为等差或等比数列，再复杂点的就先转化再叠加求通项公式.

参考文献：

[1]人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.数学必修5[M]. 北京：人民教育出版社，2014.6.