古典概型的常见模型归纳

江苏 王 翔

古典概型的常见模型归纳

古典概型是一种特殊的概率模型，也是一种最基本的数学模型．古典概型的教学应立足模型建构的定位，抓住关键特征，突出本质，以便学生理解和接受概率论这一重要模型．学生不仅要学会如何计算这一类概率，更要在思想方法和解决问题策略上有所启示和提升．

1.基本事件个数少的问题可以采用枚举法

【例1】甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.

(1)若从甲、乙两校报名的6名教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；

(2)若从甲、乙两校报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.

【解析】(1)从甲、乙两校报名的6名教师中各任选1名，所有可能的结果为：(甲男1，乙男)，(甲男1，乙女1)，(甲男1，乙女2)，(甲男2，乙男)，(甲男2，乙女1)，(甲男2，乙女2)，(甲女，乙男)，(甲女，乙女1)，(甲女，乙女2)，共记9个基本事件；

(2)从甲、乙两校报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为：(甲男1，甲男2)，(甲男1，甲女)，(甲男1，乙男)，(甲男1，乙女1)，(甲男1，乙女2)，(甲男2，甲女)，(甲男2，乙男)，(甲男2，乙女1)，(甲男2，乙女2)，(甲女，乙男)，(甲女，乙女1)，(甲女，乙女2)，(乙男，乙女1)，(乙男，乙女2)，(乙女1，乙女2)，共记15个基本事件；

【变式1】小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M,I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是

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2.同一事件涉及多个因素可用树状图

【例2】经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：

(1)三辆车全部继续直行；

(2)两辆车右转，一辆车左转.

【解析】画出三辆汽车先后经过一个十字路口转向的树状图，可以发现所有可能出现的结果共有27个，它们出现的可能性相等，即共有27个基本事件.

【评注】当一次试验涉及3个或3个以上的因素时，通常借助树状图不重不漏地计算基本事件总数．树状图一般从上至下或从左至右进行“枝叶展开”，注意“不重不漏”的进行列举.

【变式2】“石头、剪刀、布”是个广为流传的游戏，游戏时甲乙双方每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负须继续比赛．假定甲乙两人每次都是等可能地做这三种手势，那么一次比赛时两人分出胜负的概率是多少？甲胜的概率是多少？请用树状图的方法解决．

3.每个事件涉及两个因素可用列表法

【例3】随机地掷一枚骰子两次(或抛掷两枚骰子一次)，计算：

(1)点数出现两个4点的概率；

(2)点数之和是7点的概率．

【解析】随机地掷一枚骰子两次(或抛掷两枚骰子一次)，所有结果如下表所示：

第1次第2次 1点2点3点4点5点6点1点(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2点(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3点(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4点(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5点(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6点(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

由上表可知，随机地抛掷两枚骰子的基本事件总数是36种.

(1)记“点数出现两个4点”的事件为A，从上表可以看出事件A包含基本事件的个数为1个：(4,4)，

【评注】当一次试验涉及两个因素，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法.本题运用表格将36种情形一一列举，一目了然．

【变式3】某中学一年级有12个班,要从中选2个班代表学校参加某项活动,由于某种原因,一班必须参加,另外再从二至十二班中选1个班,有人提议用如下方法:掷两个骰子得到的点数和是几(见下表),就选几班,你认为这种方法公平吗?

第1次第2次 1点2点3点4点5点6点1点(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2点(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3点(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4点(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5点(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6点(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)