利用“区间转换法”探求分段函数

广东 张红红

(作者单位:广东省惠来县惠来一中)

利用“区间转换法”探求分段函数

对于自变量x不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫作分段函数.顾名思义，分段函数的图象往往按区间被分成若干段.它是一个函数，而不是几个函数.在各类考题中，命题者常常给出分段函数在某一区间的表达式，要求学生根据函数的奇偶性、对称性、周期性等性质(或类似这些性质)推出该函数在其他区间的表达式或相应的性质.有些学生往往不顾自变量所在区间盲目代入解析式而导致错误.为了避免这种错误的发生，我们直击这类问题的解决关键：将未知区间的自变量x转化到已知区间，再代入已知的表达式.下面从各个类型阐述这一具体做法.

类型一、求未知区间的函数值(将未知区间的自变量x转化到已知区间)

( )

A.2________ B.-1________ C.0________ D.2

【解析】由条件①“当x<0时，f(x)=x3-1”，说明题目只告诉我们函数f(x)在区间(-∞,0)上的表达式，要求解出自变量x=6时对应的函数值f(6).

结合以上信息，我们尝试将自变量6转化到已知区间(-∞,0).

因为条件③，所以f(6)=f(5)=…=f(1)；因为条件②，所以f(1)=-f(-1)；因为条件①，所以f(-1)=(-1)3-1=-2；综上所述f(1)=-f(-1)=2.故选D.

类型二、求未知区间的表达式(通过“加负号”转化为已知区间——类似奇偶性)

【例2】(2016·山东)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1 时，f(-x)=-f(x)；则当x∈(0,1)时，函数f(x)的表达式为________.(改编)

【解析】设0

【评注】先设自变量x属于未知区间，即0

以上思路可简化为：设未知区间→“加负号”化到已知区间→代已知表达式→通过f(x)与f(-x)的关系式解得f(x).这样我们可以求得分段函数在未知区间上的表达式，进而探究其他性质.

【变式2】(2016·山西四市二模)已知函数f(x)=ex(x≥0)，当x<0时，f(-x)=4f(x)，若函数g(x)=f(x)-ax-a(a>0)有唯一零点，则a的取值范围为

( )

【解析】设x<0，则-x>0，则f(-x)=e-x.

因为当x<0时，f(-x)=4f(x)，

要使函数g(x)=f(x)-ax-a(a>0)有唯一零点，

如图所示画出两者图象.

类型三、求未知区间的表达式(通过“加减常数”转化为已知区间——类似周期性)

【解析】设1

因为当-1≤x≤1时，f(-x)=-f(x)，所以f(1-x)=(1-x)3-1=-f(x-1).即解得f(x-1)=(x-1)3+1.

又在区间(0,+∞)上，f(x)=f(x+1)(理由见例1解析).所以上式即f(x-1)=f(x)=(x-1)3+1.故选B.

【评注】设出未知区间1

【解析】设2k-1

A.4 B.3 C.2 D.1

【解析】要研究函数y=f(x)-x的零点个数，令y=f(x)-x=0，解得f(x)=x，则研究y=f(x)和y=x两图象的交点个数.易得函数f(x)的解析式为：

画出相应的图象如下(在原点右边的图象以类似周期的规律进行变化)：

显然，两图象的交点为O(0,0),A(2,2)，故函数y=f(x)-x有2个零点(注意B为空点).故选C.

( )

A．(1,+∞) B．[1,+∞)

C．(-∞,1) D．(-∞,1]

【解析】设0

所以f(x)=f(x-1)=2-(x-1)-1.

同理设1

可得f(x)=f(x-1)=2-(x-1-1)-1=2-(x-2)-1.

因为函数g(x)=f(x)-x-a只有一个零点，

即y=f(x)和y=x+a只有一个交点.

画出两者图象，当直线y=x+a过(0,1)时，a=1，

显然当a≥1时，y=f(x)和y=x+a只有一个交点.

故选B.

类型四、求未知区间的表达式(通过“加减常数”转化为已知区间——图象类似伸缩与平移变换的叠加)

( )

A．7 B．6 C．5 D．4

【解析】设x∈[-3,-1]，则x+2∈[-1,1]，

所以此时g(x)的图象为圆心在原点半径为1的上半圆.

用同样的方法可得出其他区间的图象，如图所示.

根据y=f(x)与y=g(x)两者的图象可知，一共有4个交点，所以函数y=f(x)-g(x)在区间[-4,4]上零点的个数为4.故选D.

【解析】当x∈[-4,-2)时，函数f(x)≥t2+2t恒成立，则f(x)min≥t2+2t.

易得f(x)=x2-2x+13,x∈[0,1)的最小值为f(x)>f(1)=12.

因为f′(x)=(xlnx)′=lnx+1>0,x∈[1,2)，

所以f(x)单调递增，此时f(x)min=f(1)=0.

综上，当x∈[0,2)时，f(x)min=0.

所以当x∈[-4,-2)时，f(x)min=0.

所以0≥t2+2t，故解得实数t的取值范围是[-2,0].

从以上例题可以看出，为了求出分段函数在未知区间的表达式，我们常常设出自变量x属于未知区间，再将不等式两边同时乘以-1或同时加上或减去某一常数，从而将含x的代数式g(x)变到了已知区间，再代入已知区间的表达式得f[g(x)]，最后经过f(x)与f[g(x)]的关系转化求得f(x)在未知区间的表达式.

(作者单位:广东省惠来县惠来一中)