小题大做，别有洞天——解决向量问题需要强化的五种意识

吉林 林逸凡

(作者单位：吉林省长春市吉林大学附中实验学校)

小题大做，别有洞天
——解决向量问题需要强化的五种意识

向量问题灵活性强，活跃在各地的高考题、模拟题的选择、填空压轴题中，许多学生一直都是“想说爱你不容易”，本文以一道小题为例，总结解决向量问题需要强化的五种意识.

意识一：取基底

【点评】方法一的核心思想是“基底化”，优点是通用性强，缺点是计算量较大.选取两个不共线的向量为基底，则平面内所有向量都可以表示为这两个向量的线性组合.这个方法同样适用于解立体几何问题，只需选取两两不共线的三个向量为基底即可.

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意识二：等式两边同时点乘一个向量，构造数量积

而∠AOB=2∠C,∠AOC=2∠B，OA=OB=OC=R，

将①②代入③可得

【解析】设∠AOC=α，

意识三：数形结合

【解法3】当cosB>0,cosC>0时，

如图，作平行四边形AEFD，

使AD=cosB,AE=cosC，

当cosB<0,cosC>0时，

如图，作平行四边形AEFD，

使AD=-cosB,AE=cosC，

当cosB>0,cosC<0时，同理可得.

意识四：先“拆”再“合”

所以由②式可得-sin2B-sin2C+2msinBsinC=1，

【点评】方法四本质也是基底化的思想，与方法一有类似之处，只是不忙取基底，而是“先拆再整”：先“拆”，将向量拆成若干个特定向量的线性组合，再“合”，利用特定向量间的关系，化简式子.

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又由①②得

意识五：建系

【思路】建系设点，通过将向量坐标化解决.

【点评】方法五的建系思想是常见且具有通用性的，在没有灵感的时候，只要建系建对，设点设好，理论上用建系的方法一定能解出来，在解决很多数量积的最值问题时，建系是一个不错的选择.

【变式5-1】同【变式4-2】.

【解析】如图，建立以A为坐标原点的直角坐标系，

∴过点B1,B2作一个半径为1的单位圆，圆心为O(a,b).

设B1(0,y),B2(x,0)，

得(x-a)2+b2=1,a2+(y-b)2=1，

两式相加得(x-a)2+(y-b)2+b2+a2=2，

∴|OP|2+|OA|2=2，

【变式5-2】同【变式1】.

【解析】由∠BAC=60°，AB=2，AC=1

可得∠ACB=90°，如图,建立直角坐标系，

(作者单位：吉林省长春市吉林大学附中实验学校)