《九章算术》与高考数学的完美邂逅

江苏 王佩其

(作者单位:江苏省太仓市明德高级中学)

《九章算术》与高考数学的完美邂逅

众所周知，《九章算术》是流传到现在的中国最早的一部数学专著.《九章算术》的内容丰富，而且大多和实际生活密切联系.这些密切联系实际生活的题材，反映出中国古代先贤的智慧，同时也显出古代中国数学的研究多以实用性为主.《九章算术》中所蕴含的科学思想可谓极其深邃，如逻辑思想、重验思想、极限思想、求理思想、创新思想、对立统一思想等.从某种意义上看，当代高中数学与之“一脉相承”，《九章算术》必然会在倡导“学以致用”理念的新课标数学高考中有所体现，于是与《九章算术》有关的高考题或模拟题应运而生，从这些试题中，我们可以看到《九章算术》与现代高考的优美结合，看到中华古代文明与现代文明的交相辉映.下面我们一起来赏析几例.

一、《九章算术》与算法初步

【例1】下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=

( )

A.0 B.2

C.4 D.14

【答案】B.

【解析】逐一写出循环：a=14，b=18→a=14，b=4→a=10，b=4→a=6，b=4→a=2，b=4→a=2，b=2，结束循环.

【点评】本题将《九章算术》中的“更相减损术”设计成算法初步试题，用算法初步体现《九章算术》的计算原理，古为今用，新颖别致.

【变式】我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图即源于“辗转相除法”.当输入a=6 102，b=2 016时，输出的a=

( )

A.6 B.9

C.12 D.18

【答案】D.

【解析】6 102=2 016×3+54，2 016=54×37+18，54=18×3，18是54和18的最大公约数，∴输出的a=18.

二、《九章算术》与概率统计

【例2】我国古代数学名著《算术九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为

( )

A.134石 B.169石

C.338石 D.1 365石

【答案】B.

【点评】本题以《算术九章》中“米谷粒分”为背景，增强了数学文化的色彩，考查了简单随机抽样问题，属于基础题.

【变式】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3.假如这堆米中均匀地混进了沙粒，且1斛米中含有10颗沙粒，则估算出堆放的米中约有沙粒

( )

A.140颗 B.220颗

C.360颗 D.660颗

【答案】B.

故堆放的米中约有沙粒为10×22=220(粒).

三、《九章算术》与数列

【例3】《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”，“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列).问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为

( )

【答案】C.

【解析】设从最下节往上的容量构成等差数列{an}，公差为d.

中间为第五节，

【点评】《九章算术》博大精深，几乎涵盖当代数学的全部内容，本题以“竹九问题”为“引子”，考查了等差数列的基本量.

【变式】我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：

第二步：将数列①的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an.则a1a2+a2a3+…+an-1an等于

( )

A.n2B.(n-1)2

C.n(n-1) D.n(n+1)

【答案】C.

【解析】a1a2+a2a3+…+an-1an

四、《九章算术》与立体几何

【例4】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.

(1)证明：PB⊥平面DEF.并判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由.

【解析】(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，

由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD.

而DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE.

又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.

而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC.

而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE.

又PB⊥EF，DE∩EF=E，所以PB⊥平面DEF.

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.

(2)如图所示，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，连接DG，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线.

由(1)知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG.

又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG.

而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD.

故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角.

【点评】此题背景源于《九章算术》卷第五《商功》之[一五]:今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何；之[一六]:今有鳖臑，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广，高七尺.问积几何.考题将“阳马”“鳖臑”相结合，并与课本例题有机整合.巧妙嫁接配合精典设问，和谐优美的考题呼之即出.让数学教育者与高考学子为之赞叹！

【变式】《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)”，下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF∥平面ABCD.EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是

( )

A.4立方丈 B.5立方丈

C.6立方丈 D.8立方丈

【答案】B.

【解析】如图，设E,F在平面ABCD上的射影分别为P，Q，过P，Q分别作GH∥MN∥AD交AB于G，M，交DC于H，N，连接EH,EG,FN,FM,则平面EGH与平面FMN将原多面体分成四棱锥E-AGHD与四棱锥F-MBCN与直三棱柱EGH-FMN.

由题意得GH=MN=AD=3，GM=EF=2，

EP=FQ=1，AG+MB=AB-GM=2，

五、《九章算术》与解析几何

【解析】设水深为x，则x2+52=(x+1)2，解得：x=12.

∴水深12尺，芦苇长13尺，以AB所在的直线为x轴，芦苇所在的直线为y轴，建立如图所示直角坐标系.

在牵引过程中，P的轨迹是以O为圆心，半径为13的圆，其方程为x2+y2=169(-5≤x≤5，12≤y≤13)，①

【点评】本题是《九章算术》中的一道名题，可用现代数学的解析法来解决，体现了数学解题的与时俱进，可以考查考生处理数学问题的灵活性.

六、《九章算术》与几何证明

【例6】《九章算术》中的邪田意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪(如图).已知在邪田ABCD中，以正广为直径的半圆与邪相切于E，EF⊥BC，垂足为F，AC与EF相交于M.

(1)求证ME=MF；

【解析】(1)证明：∵邪田ABCD的邪与以BC为直径的圆相切，∴AB，DC都与半圆相切，∴AB=AE，DC=DE.

又EF⊥BC，∴AB∥DC∥EF.

∴ME=MF.

∴2AB·DC=AD=AE+DE=AB+DC.

【评注】直角梯形即为《九章算术》中的“邪田”，本题以此引入正题，给正题赋予丰富的内涵.考查直线与圆的位置关系，难度不大，却给人以耳目一新的感觉.

【变式】《九章算术》是我国古代著名数学经典,其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).

已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为

( )

A.600立方寸 B.610立方寸

C.620立方寸 D.633立方寸

【答案】D.

【解析】连接OA,OB，OD，设⊙Ο的半径为R，

∴∠AOD=22.5°，即∠AOB=45°.

∴该木材镶嵌在墙中的体积为V=S弓形ACB×100≈633立方寸.

(作者单位:江苏省太仓市明德高级中学)