破解等差数列的最值问题

四川 张 戈 李 华

(作者单位：江苏省连云港市赣榆区赣马高级中学)

(作者单位：四川省渠县中学，四川省渠县第三中学)

破解等差数列的最值问题

数列是一类特殊的函数，而等差数列是数列中更为特殊的数列，它的通项具有一次函数的性质，它的前n项的和Sn具有二次函数的性质，正因为具有这一特点，所以高考题目中常常出现与等差数列最值有关的题目，而解决这类题目除了用数列本身的相关知识和等差数列的性质外，还常用到函数的性质如单调性、对称性等解题，本文就解决等差数列最值有关的题目的几种常用方法作以介绍，仅供参考.

一、若{an}是等差数列，利用通项an具有函数的性质求最大项

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.

1点2点3点4点5点6点1点2345672点3456783点4567894点56789105点678910116点789101112

4.不放回问题可用半表计算基本事件

【例4】一个盒子里装有标号1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的标签，今随机地选取两张标签.如果标签选取是无放回的，求两张标签上的数字为相邻整数的概率.

【解析】随机地从盒子里选取两张标签，如果不放回，则有如下45个基本事件(例如：摸到1,2号标签用{1,2}表示)：{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{1,7},{1,8},{1,9},{1,10}

{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{2,7},{2,8},{2,9},{2,10}

{3,4},{3,5},{3,6},{3,7},{3,8},{3,9},{3,10}

{4,5},{4,6},{4,7},{4,8},{4,9},{4,10}

{5,6},{5,7},{5,8},{5,9},{5,10}

{6,7},{6,8},{6,9},{6,10}

{7,8},{7,9},{7,10}

{8,9},{8,10}

{9,10}

【评注】当从有限总体中不放回抽取两个样本时，可以不考虑抽取的顺序，通过列表来计算基本事件.

【变式4】一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，

(1)共有多少个基本事件？

(2)摸出的两个都是白球的概率是多少？

【解析】(1)分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下基本事件(摸到1，2号球用(1，2)表示)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)．因此，共有10个基本事件．

(作者单位：江苏省连云港市赣榆区赣马高级中学)

( )

【评注】因为数列是特殊的函数，所以求最大项时，常常可以利用通项an的单调性求解.

二、若{an}是等差数列，已知通项an利用或求前n项和Sn的最值

【例2】若数列{an}满足：a1=19，an+1=an-3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为

( )

A.6 B.7 C.8 D.9

【解析】∵an+1-an=-3，

∴数列{an}是以19为首项，-3为公差的等差数列，

∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.

∵k∈N*，∴k=7.故满足条件的n的值为7.

【变式1】已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1=25，a4=16.求当n为何值时，Sn取得最大值.

【解析】∵等差数列{an}中，a1=25，a4=16，

令an=-3n+28>0，则n≤9.

∴当n≤9时，an>0；当n>9时，an<0.

∴当n=9时，Sn取得最大值.

【变式2】若等差数列{an}的公差d<0，a1+a11=0，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n是

( )

A.5 B.6

C.5或6 D.6或7

【解析】∵a1+a11=0，∴a1+a1+10d=0，即a1=-5d.∴an=a1+(n-1)d=(n-6)d.由an≥0得(n-6)d≥0，∵d<0，∴n≤6.即a5>a6=0.所以前5项或前6项的和最大.

三、若{an}是等差数列，已知相邻两项或几项的关系，利用正负转折项求前n项和Sn的最值

【例3】若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0，a7+a10<0，则当n=________时，{an}的前n项和最大.

【解析】在等差数列{an}中，a7+a8+a9=3a8>0.

又a7+a10=a8+a9<0，∴a9<0.

∴当n=8时，其前n项和最大.故填8.

【评注】在等差数列中，当通项公式具有单调性的时候，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用等差数列性质：当p+q=n+m,am+an=ap+aq找到通项发生正负变化时的相邻两项便可求得和的最值.

( )

A.11 B.19

C.20 D.21

【变式2】设数列{an}是公差d<0的等差数列，Sn为前n项和，若S6=5a1+10d，则Sn取最大值时，n的值为

( )

A.5________B.6

C.5或6 D.11

【解析】由题意得S6=6a1+15d=5a1+10d，所以a6=0，故当n=5或6时，Sn最大，选C.

四、若{an}是等差数列，已知Sn和Sm关系，利用Sn=An2+Bn求前n项和的Sn的最值

【例4】在等差数列{an}中，已知a1=20，前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值.

【解析】∵a1=20，S10=S15，

∵n∈N*，∴当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130.

【评注】利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A，B为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.另外，对于非等差数列常利用函数的单调性来求其通项或前n项和的最值.

【变式1】设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是

( )

A.若d<0，则数列{Sn}有最大项

B.若数列{Sn}有最大项，则d<0

C.若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0

D.若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列

【变式2】等差数列{an}中，S15>0，S16<0，则使an>0成立的n的最大值为

( )

A.6 B.7

C.8 D.9

【变式3】在等差数列{an}中，满足3a4=7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和.若Sn取得最大值，则n=________.

【变式4】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a11-a8=3，S11-S8=3，则使an>0的最小正整数n的值是

( )

A.8 B.9

C.10 D.11

【解析】∵a11-a8=3d=3，∴d=1.

∵S11-S8=a11+a10+a9=3a1+27d=3，

∴a1=-8，∴an=-8+(n-1)>0，解得n>9，

因此使an>0的最小正整数n的值是10.

五、若{an}是等差数列，已知前n项和Sn的最值，利用正负转折项求公差为d的范围

【例5】在等差数列{an}中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________.

【解析】 由题意，当且仅当n=8时Sn有最大值，

【评注】在等差数列中，已知前n项和Sn的最值，可以求出正负转折项，利用相邻两项的正负性，求出d的范围.

【变式】设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0.求d的取值范围.

因为S5S6+15=0，

所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0.

所以d2≥8.

(作者单位：四川省渠县中学，四川省渠县第三中学)