解决恒成立问题的基本策略

四川 李 华

(作者单位：四川省渠县第二中学)

解决恒成立问题的基本策略

恒成立问题是高考的必考内容，它常常与一元二次不等式、函数的最值、函数的图象、任意性存在性等知识联系起来，也是函数中的重要内容，其涉及的思想方法常有分类讨论、变量分离、图象分析等，本文就高考问题中常用的一些基本策略进行研究，旨在利于高三师生复习参考.

一、一元二次不等式在某区间上恒成立

【例1】关于x的不等式ax2-2ax+1≥0在[2,4]上恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】当a=0时，符合题意；当a≠0时，设函数f(x)=ax2-2ax+1，对称轴为x=1；

当a>0时，开口向上，函数f(x)在[2,4]上单调递增，只需f(x)min=f(2)≥0即可，此时解得a>0；

【变式】已知关于x的不等式x2-2ax+1>0在(2,4)上恒成立，求实数a的取值范围.

二、图解法处理不等式恒成立问题

【例2】若关于x的不等式|a|<|x+1|+|x-2|解集是R，则实数a的取值范围是________.

【评注】对于不等式恒成立，其相应的函数的最值求解是关键，其中图解法求最值就是其中一种重要的策略.通过作出相应函数的图象，可以获得函数的最大值或最小值，进而得到字母参数应该满足的条件.

三、用图形的覆盖问题处理不等式f(x)≤g(x)恒成立

【评注】用数形结合法解决含参不等式恒成立问题需“两招”，第一招：转化和化归，即把“f(x)

四、分离变量法研究不等式恒成立问题

【例4】当x∈[-2,1]时, 不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】①当x=0时，0≥-3，故实数a的取值范围是R；

故函数f(x)递增，则f(x)max=f(1)=-6，

故a≥-6；

易知f(x)min=f(-1)=-2，则a≤-2.

综上所述，实数a的取值范围是[-6,-2].

【评注】一般地，恒成立的不等式可以将字母单独分离，从而转化成a≤f(x)，a≥f(x)，af(x)等形式，总有a≤[f(x)]min，a≥[f(x)]max，a<[f(x)]min，a>[f(x)]max，在分离字母的过程中，往往要在不等式两边同时除以x或含有x的代数式，这时可以借用x的取值范围，若x的取值范围中包含正数、零或者负数，则要分成几段区间变量分离后再进行分类讨论求解取交集.

【变式】当x∈[-2,1]时, 不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】①当x=0时，0≥-3，

故实数a的取值范围是R；

故函数f(x)单调递增，则f(x)max=f(1)=-6，

故a≥-6；

易知f(x)min=f(-1)=-2，则a≤-2.

综上所述，实数a的取值范围是[-6,-2].

五、对任意性、存在性单变量或双变量恒成立问题用最值研究

【例5】已知函数f(x)=x2-2x+1和g(x)=x3-3x2-6x+m，若任意x1,x2满足x1∈[-2,2]，x2∈[-2,2]，都有f(x1)≤g(x2)，求m的取值范围.

【评注】不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，可以理解为定义域均为[-2，2]时，函数f(x)中的最大值不超过g(x)的最小值.通过条形图来理解位置的高低变化，可以形象地解决任何双变量问题，字母取值范围必然涉及区间的开与闭，起决定因素的是不等号以及函数最值的存在性.比如a

【解析】由题意，f′(x)=6ax2-6ax=6ax(x-1),a<0,故有

x0(0,1)1(1,2)2f'(x)0+0-f(x)1↗极大值1-a↘1+4a

六、变换主元法处理不等式恒成立问题

【例6】已知不等式mx2-2x-m+1<0.

(1) 是否存在m对所有的实数x，使不等式恒成立，若存在，求出m的取值范围;

(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求符合题意的x的取值集合.

【评注】常见的恒成立问题都是“主元x在某个区间上不等式恒成立，求字母的范围”，但是上述问题是“已知字母范围，求的是主元x的范围”.此类问题，我们只需要变换一个角度，把字母看成是主元就行了.这就是变换主元法.

【变式】若任意a∈[1，3]，使得不等式ax2+(a-2)x-2≤0恒成立，则实数x取值范围是________.

七、控制变量法研究多变量型问题

(作者单位：四川省渠县第二中学)