研究数列有三法——列举观察与归纳

湖北 卢晓勇

(作者单位：湖北省孝感市云梦县黄香高级中学)

研究数列有三法
——列举观察与归纳

研究、认识数列的最简单的方法就是列举，列举出足够多的项，然后观察、实验、猜测、归纳、类比、抽象、概括，寻找出最本质的东西，进而就能发现规律，找到解题的基本方向.

1．观察数列规律，写出通项公式

【例1】已知数列{an}的前几项，写出它的一个通项公式．

(3)每项的分母为2n的形式，从第2项起每项的分子比分母小3，且正负相间.

【评注】观察法求数列的通项公式，根据数列的前几项求通项公式时，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征，分子与分母的差异特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号的特征．联想项与序号n的函数关系．

如果给出的项中既有分数又有整数的统一化为分数即一定要统一形式，有些分数进行了约分，还要再进行还原； 如果有正有负的可以用(-1)n或者(-1)n+1调整，也可以利用三角函数调整．

【变式】写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

(2)9,99,999,9 999;

(3)-1,2,-3,4；

(5)3,15,35,63.

(2)an=10n-1(n∈N*)；

(3)an=(-1)nn(n∈N*)；

(5)an=(2n-1)(2n+1)=4n2-1(n∈N*).

2. 观察图形,总结通项公式

【例2】(1)根据下面的图形及相应的点数，在空格和括号中分别填上适当的图形和点数，并写出点数构成的数列的一个通项公式：

(2)下图中的三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项．请写出这个数列的前5项和数列的一个通项公式.

【解析】(1)①16，21，an=5n-4 (n∈N*)；

②10,13,an=3n-2 (n∈N*)；

③24,35,an=n2+2n(n∈N*).

【评注】观察图形求数列的通项公式，根据图形前几项求通项公式时，抓住以下几方面的特征：①图形发展变化的规律；②相邻项的变化特征；③建立数列递推关系式求解.

【变式】把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．

1

2________4

3 5 7

6 8 10 12

9 11 13 15 17

14 16 18 20 22 24

设aij(i,j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a52=11.则a87=________.

【解析】由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，故a87表示第8行的第7个数字，即第2+4+6+7=19个正偶数．故a87=2×19=38.

3.列举法是研究项的最简单方法

【例3】在数列{an}中，a1=1,|an|=|an-1+1|(n≥2,n∈N*)，则a1+a2+a3+a4的最小值是________.

【解析】可用树状图分析，得满足条件的数列共有7个，易得a1+a2+a3+a4的最小值是-2.

4.有些数列的项具有周期性

所以数列{an}的周期T=3，

【评注】若有f(x+T)=f(x)，则f(x)的周期是T．类似地，若an+k=an(n∈N*,k为非零正整数)，则{an}为周期数列，T=k为{an}的一个周期．

【变式】已知数列{an}满足a1=1,a2=1,an+1=|an-an-1|(n≥2)，则该数列前2 012项和等于________．

【解析】因为a1=1,a2=1,an+1=|an-an-1|(n≥2)，所以a3=|a2-a1|=0;a4=|a3-a2|=1;a5=|a4-a3|=1;a6=|a5-a4|=0,…,

所以数列{an}是周期为3的数列，每个周期内所有项的和为2，

【例5】在数列{an}中，已知a1=2,a2=3,当n≥2时，an+1是an·an-1的个位数，则a2016=________.

【解析】因为a1=2,a2=3,

所以a3=6,a4=8,a5=8,a6=4,a7=2,a8=8,

a9=6,a10=8,a11=8,a12=4,a13=2,a14=8,…,

所以数列{an}从第3项起是以6为周期的数列，

因为2 016=2+335×6+4,

所a2016=a2+4=a6=4.

【评注】函数周期是T，则f(x+kT)=f(x),k∈Z，类似地，若数列周期是T，则am+kT=am(其中m∈N*,k∈N,T为非零正整数)．寻找数列的周期，可以先通过列举的方法进行．

【变式】已知数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1=1,a2=2,anan+1an+2=an+an+1+an+2，且an+1an+2≠1，则a1+a2+a3=________，S2010=________．

(作者单位：湖北省孝感市云梦县黄香高级中学)