一道圆锥曲线高考题的探索历程

安徽 刘 阳

(作者单位：安徽省阜阳市太和中学)

一道圆锥曲线高考题的探索历程

【例题】(2016·新课标Ⅰ理·20)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

一、考点分析

(1)考点、热点的考查：直线、圆和椭圆.

(2)能力和应用意识的考查：逻辑推理的能力、运算求解的能力、数据处理的能力、数形结合应用意识和设而不求应用意识.

二、审题分析

采取化整为零，步步为营的策略.

(1)“圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A”，将这句话“翻译”为：“圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,圆心A(-1,0)”;

(2)“直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点”，这句话表明直线l不与y轴垂直，这句话间接告诉考生此条件将为问题的解决隐含着什么；一是动直线l方程的两种设法，二是求点E的轨迹方程y隐含条件埋下伏笔；

(3)“过B作AC的平行线交AD于点E”，此处会让考生联想平行线的性质定理和三角形相似性——在三角形中平行与一边的直线将原三角形形成两个三角形相似，同时由线段AC和线段AD都是圆A半径，得出△ACD为等腰三角形；

(4)“证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程”，此问又含有两小问：先证定值、接着根据定值判定轨迹曲线类型再书写轨迹方程，要注意书写方程根据点E的轨迹带上y的限制条件；

三、解题分析

【解】(Ⅰ)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,

故∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以|EB|=|ED|,

故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|，如下图.

又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16，

从而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4.

(Ⅱ)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).如下图.

由题知Δ>0显然成立，

过点B(1,0)且与l垂直的直线m：

当与x轴垂直时，其方程为x=1，|MN|=3，|PQ|=8，四边形MPNQ的面积为12.

又AC=AD,∴BE=DE，以下相同.

直线l的方程可化为：x-ty-1=0,t∈R,

直线m方程可以设为tx+y+c=0,

把B(1,0)代入得c=-t,

∴直线m方程：tx+y-t=0.

四、变式分析

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆的右焦点F作直线l1,l2,直线l1与椭圆分别交于M，N点，直线l2与椭圆分别交于P，Q点，且l1⊥l2，求四边形MPNQ的面积S的最小值.

当且仅当k=±1时等号成立.

求四边形ABCD的面积的最小值.

【解析】(1)若直线BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形MPNQ的面积S=4.

设B(x1,y1),D(x2,y2)，

(作者单位：安徽省阜阳市太和中学)