题组变式训练(二)
——数学文化高考训练题

2017-03-28 05:59山东尹承利

教学考试(高考数学) 2017年1期

山东尹承利

【编者按】2016年9月26日，教育部考试中心下发《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》，公布了2017年各学科高考大纲的主要修订内容.数学考纲最大的变化就是第一次明确地提出在高考数学中考查数学文化.一时间，“数学文化怎样考”成为2017届师生关注的话题.为此，本刊特归纳一组《数学文化高考训练题》，以助力2017届师生复习备考.

【函数、不等式】

1.“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”——这说明同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.在数学解题活动中，倘若能恰当地改变分析问题的角度，往往会有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的豁然开朗之感.请阅读以下问题及其解答：

问题：对任意a∈[-1,1]，不等式x2+ax-2≤0恒成立，求实数x的取值范围.

解：令f(a)=xa+(x2-2)，则对任意a∈[-1,1]，不等式x2+ax-2≤0恒成立，

类比其中所用的方法，可解得函数g(x)=2x3-ax2-8x-(a2+4a)(a<1)的零点为________.

【数列与推理】

1.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：

第二步：将数列①的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an.

则a1a2+a2a3+…+an-1an等于

( )

A.n2B.(n-1)2

C.n(n-1) D.n(n+1)

2.(2012·山东模拟)将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差即a2 012-5=

( )

A.2 018×2 012 B.2 018×2 011

C.1 009×2 012 D.1 009×2 011

3.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”.如图，可以发现，任何一个大于1的正方形数都可以看作两个相邻的三角形数之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是

( )

①13=3+10；②25=9+16；③36=15+21；④49=18+31；⑤64=28+36.

A.①④ B.②⑤ C.③⑤ D.②③

4.欣赏中国古代数学诗(明朝·程大位作)：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增.共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？则该塔塔顶有________盏灯.

5.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的实际问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布”，则每天比前一天多织( )尺布.(不作近似计算)

( )

6.下表中数阵称为“森德拉姆筛”，其特点是每行、每列都是等差数列，则表中数字206共出现________次.

23456…357911…47101316…59131721…611162126…………………

7.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如下图①②③④是她们刺绣的最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含的小正方形个数为f(n)，

则(Ⅰ)f(n)-f(n-1)=________(n≥2,n∈N)；

(Ⅱ)f(2 015)-f(2 013)=________.

8.跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法数为

( )

A.8 B.13 C.21 D.34

9.第七届国际数学教育大会的会徽图案是由下图中一串直角三角形演化而成的，其OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，记OA1，OA2，OA3，…，OA7，OA8的长度所成的数列为{an}(n∈N*,1≤n≤8).

(1)写出数列{an}的通项公式；

(2)如果把图中的直角三角形继续作下去，那么OA2018的长为多少？

10.(2013·湖北文)在平面直角坐标系中，若点P(x,y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4.

(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N，L分别是；

(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数.若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S=________(用数值作答).

【立体几何】

1.(2016·黄冈中学模拟)《九章算术》商功章有题：一圆台形谷仓，谷仓口直径为六尺，谷仓底直径为一丈八尺，谷仓高一丈八尺，若谷仓屯米高九尺，则谷仓屯米约为( )斛.(1斛≈1.62立方尺，1丈=10尺，π≈3)

A.650 B.950 C.1 950 D.2 850

2.如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上.用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面(图中阴影部分).设截面面积分别为S圆和S圆环，那么

( )

A.S圆>S圆环B.S圆=S圆环

C.S圆

【概率、统计】

1.(2012·湖北·13)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 443，94 249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99；3位回文数有90个：101，111,121，…，191，202，…，999.

(1)4位回文数有________个；

(2)2n+1(n∈N*)位回文数有________个.

2.如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于

( )

A.144 B.146 C.164 D.461

3.(2007·湖南)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的01三角数表.

第1行________ 1 1

第2行 1 0 1

第3行 1 1 1 1

第4行 1 0 0 0 1

第5行 1 1 0 0 1 1

…________… …

从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________.

5.如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为

( )

A.a1+x0(a3+x0(a0+a2x0))的值

B.a3+x0(a2+x0(a1+a0x0))的值

C.a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))的值

D.a2+x0(a0+x0(a3+a1x0))的值

参考答案与提示

【函数、不等式】

【数列与推理】

3.【解析】这些三角形数依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…，且正方形数是三角形数中相邻两数之和，易得15+21=36,28+36=64，只有③⑤是对的.故选C.

6.【解析】第i行第j列的数记为Aij.那么每一组i与j的解就是表中一个数.因为第一行数组成的数列A1j(j=1，2，…)是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j=2+(j-1)×1=j+1.所以第j列数组成的数列Aij(i=1，2，…)是以j+1为首项，公差为j的等差数列.所以Aij=(j+1)+(i-1)×j=ij+1.令Aij=ij+1=206，即ij=205=1×205=5×41=41×5=205×1，所以，表中206共出现4次.

7.【解析】(Ⅰ)根据前面四个发现规律：

f(2)-f(1)=4×1，

f(3)-f(2)=4×2，

f(4)-f(3)=4×3，

…

f(n)-f(n-1)=4(n-1)(n≥2,n∈N).

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，f(2 015)-f(2 014)=4×2 014，

f(2 014)-f(2 013)=4×2 013，

故f(2 015)-f(2 013)=f(2 015)-f(2 014)+f(2 014)-f(2 013)=4×2 014+4×2 013=16 108.

8.【解析】设跳到第n个格子的方法种数有an，则到达第n个格子的方法有两类：

①向前跳1格到达第n个格子，方法种数为an-1；

②向前跳2格到达第n个格子，方法种数为an-2，则an=an-1+an-2，由数列的递推关系得到数列的前8项分别是1，1，2，3，5，8，13，21.