高中数学课堂教学方式的探究和应用

陈明华

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）33-0156-03

一、问题提出

随着课程改革的深入开展，中小学教师的教学方式有了很大改进，但在充分肯定成绩的同时也應该看到，部分教师“满堂灌”、“独角戏”等现象。大力推进课堂教学改革，改变学与教的方式，改变教学方式，提高课堂效率，仍然是教学改革面临的十分迫切的任务。本文以《方程的根与函数的零点》教学为例，研究“类比-归纳”教学方式，体现教学方式中的“特殊”与“一般”关系，强调学生的思考过程与参与体验，探索总结提升数学思维。

二、理论基础

从奥苏泊尔的学习理论可以看出学习者学习新知识的过程实际上是新旧材料之间相互作用的过程，学习者必须积极寻找存在于自身原有知识结构中的能够同化新知识的停靠点，并尝试把新知识纳入到已有的图式中去，从而引起图式量的变化的活动。如果要让这个变化过程更加流畅自然、更加高效，就必须处理好新旧知识的联系、呈现方式。教师必须在教授有关新知识以前了解学生已经知道了什么，并据此开展教学活动。

数学教学就是数学发现过程，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的，类比、归纳的效果离不开新旧知识形式。

三、特例和一般在教学中的应用

数学家们认为，类比是数学发现的重要源泉，波利亚在《怎样解题》中指出“类比是一个伟大的引路人”.处理好类比归纳中的特殊与一般关系，往往会起到事半功倍的效果。

（一）立足特例，洞察本质，拓展外延

数学中的许多概念、知识结构有类似的地方，在新概念的提出、新知识的讲授过程中，可以运用特殊到一般的类比的方法，因为被用于类比的特殊对象是学生所熟悉的，所以学生容易从新旧内容的对比中接受新知识，掌握新概念.在高中数学中，可通过类比法引入的概念十分多。

【案例一】：填空：（图象、根、图象与x轴交点由学生填空。）

问题1：从该表你可以得出什么结论？

生：一元二次方程的实数根即为相应二次函数图象与x轴交点的横坐标。

问题2：这个结论对一般的f（x）=ax2+bx+c（a≠0）和方程ax2+bx+c=0成立吗？

生：也成立。

问题3：其他的函数y=f（x）与方程f（x）=0之间也有类似的关系吗？

生：方程f（x）=0的实数根即为函数y=f（x）图象与x轴交点的横坐标。

概念：对于函数y=f（x），把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。

通过对特殊的一元二次函数与x轴交点与相应方程的根的关系，去探索一元二次函数与x轴交点与相应方程根的关系，最后推广到一般函数也有相同关系。该过程的设计逐层提升，让学生反复理解函数的零点与方程根之间的关系，等到零点概念推出也顺理成章。

（二）对比新旧，重视迁移，举一反三

众所周知，数学问题不胜枚举，解题的方法也是千差万别，类比思想存在于解决数学问题的过程中，是帮助我们寻找解题思路的一种重要的思想方法。当我们遇到一个“新”的数学问题时，如果有现成的解法，自不必说；否则解决问题的关键就是寻找合适的解题策略，看能否想办法将之转化到曾经做过的、熟悉的、类似的特殊问题上去思考。通过联系已有知识给我们的启发，将已有知识迁移到新问题中来，把解决已有问题的特殊方法移植过来，为所要解决的问题指引方向，帮助学生举一反三，提高解题能力，也可以引导学生探索获取新知识，提高学生的创新思维能力。

【案例二】：例2：求函数f（x）=lnx+2x-6的零点的个数，确定零点区间[n，n+1]（n∈Z）.

解法1（借助计算工具）：用计算器或计算机作出x、f（x）的对应值表和图象.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f（x） -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2

由表或图象可知，f（2）<0，f（3）>0，则f（2）f（3）<0，说明函数f（x）在区间（2，3）内有零点.

问题6：如何说明零点的唯一性？

又由于函数f（x）在（0，+∞）内单调递增，所以它仅有一个零点.

解法2（估算）：估计f（x）在各整数处的函数值的正负，可得如下表格：

1 2 3 4

f（x） - - + +

结合函数的单调性，f（x）在区间（2，3）内有唯一的零点.

解法3（函数交点法）：将方程lnx+2x-6=0化为lnx=6-2x，分别画出g（x）=lnx与h（x）=6-2x的草图，从而确定零点个数为1.继而比较g（2）、h（2）、g（3）、h（3）等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间.

由图可知f（x）在区间（2，3）内有唯一的零点.

通过例题分析，能根据零点存在性定理，使用多种方法确定零点所在的区间，并且结合函数性质，判断零点个数。

（三）运用类比，构建联系，形成框架

通过类比教学，可以让学生加强不同知识板块之间的联系，能使学生在已有知识基础上由陌生到熟悉，由浅入深，由直观到抽象地学习新知识，有利于更好地理解新知识的内涵，符合教学的“循序渐进”原则。

心理学家们认为，孤立的知识容易遗忘，而系统化的知识有利于理解和掌握，也易于迁移和应用.把旧知识与新知识结合起来形成系统的知识体系，通过这样的类比，既巩固了原有知识，又加强了对新知识的理解，形成了系统化的知识建构，便于学生理解、记忆和应用。

【案例三】：例2.已知函数，且函数恰有3个不同零点，则实数a的取值范围（ ）

A.（-∞，8]B.（-∞，4]

C.[0，4]D.（-∞，0）

解：将方程化为，分别画出与的草图，通过平移直线 ，从而确定零点个数为3.再观察直线纵截距得出a的取值范围。

所以，，選D。

点评：该例题已知函数零点个数，确定函数中参数的取值范围。将函数转化为方程，分别画出与的草图，通过平移直线，

零点的概念和应用都转化为方程问题，利用数形结合。通过本例让学生清楚了解到函数零点在数学基本框架中的位置，在平时的题目中该如何转化，利用什么样的思想方法。

四、方法实施注意点

实际教学运用中特殊到一般的类比归纳方法不应该仅仅是形式上的推出，而应该充分挖掘特殊问题解决过程中的一般本质内涵，又要有效防止特殊到一般的负迁移影。

（一）特殊一般，要避免惯性思维

在探究零点存在定理的过程中，我们设置了这样一个引例：

【案例四】：问题5：函数y=f（x）存在零点的条件是什么？.下图是冰在常温下融化时温度变化图，假设冰的温度是连续变化的，请将图形补充成完整的函数图象（其中一种）。

请问：这段时间内，是否一定有某时刻冰的温度为0度？

问题6：函数y=f（x）在区间[a，b]上有f（a）f（b）<0，那么函数f（x）在区间（a，b）上是否一定存在零点，请举例说明。

生：（部分同学画出分段函数）。

生：“连续不断”是必不可少的条件。

点评：在特殊例子的图象分析过程中，学生能够发现函数y=f（x）在区间[a，b]上零点存在的条件是f（a）f（b）<0。但也忽视了函数的多样性，可能出现的图形很多，简单的认为是一个增函数。所以将特殊图形和函数下的结论迁移到一般结论，形成了充分性与必要性层面的错误。教学时教师应该说明研究的前提是图象连续的函数，还要提出针对性的辩析问题防止学生在研究特殊例子时带来的负迁移，让学生通过举其它反例（如反比例函数、分段函数）等方式，认识到特殊例子中函数图像的特殊性。又如在学生根据特殊函数猜想出一般判断零点有且只有一个必须满足的三个条件后，教师可提出一定要满足这三个条件才能得到函数零点有且只有一个吗？通过合作讨论等方式让学生明确其逻辑关系。

（二）类比运用，要渗透数学思想

在案例二中对于不能直接求解的超越方程，解法一直接通过列表描点的方法来画图，在其过程中先从表中取值利用零点存在定理得到有零点，从形式上看是画图从图象找零点的方法，也有利用零点存在定理来解决，从本质上说它们是相同的，因为零点存在定理本身就是由图象得到的；然后再根据函数的增减性得到直观的函数图象整体，从而得到函数的零点有且只有一个。解法二是解法一的改进版，解法一注重函数图像的应用，而解法二则更注重零点所在区间，在解题中更有操作性，对课本例题中涉及的方法很好的归纳、应用。解法三是先将函数的零点转化为与上面不同方程的根的问题，再将超越方程的根的个数转化为两个函数图象的交点，在这儿需要引导学生理解其等价的关系（交点即为纵坐标相等时的横坐标，也即为方程的根），还要引导学生对两种解法进行比较，显然通过方程的变形化归为基本函数来画图会更简洁，体现数形结合思想。

（三）特殊反例，加深结论理解

在零点存在性定理中用到有如下设置：

【案例五】：零点存在性定理：

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点.即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根.

〖课堂小练〗下列函数在相应区间内是否存在零点？

（1）f（x）=x3-3x+1，x∈[1，2]；

（2）f（x）=ex-1+4x-4，x∈[0，1].

概念反思：判断正误，若不正确，并用函数图象举出反例.

（1）y=f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）·f（b）<0，则f（x）在区间（a，b）内有且仅有一个零点.

（2）y=f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）·f（b）≥0，则f（x）在区间（a，b）内没有零点.

（3）单调函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）·f（b）<0，则f（x）在区间（a，b）内有且仅有一个零点.

请一位学生板书反例，其他学生补充评析，例如：

经过之前的引导铺垫，得出零点存在性定理，利用课堂小练习判断在相应的区间是否存在零点，是对定理的应用，让学生清楚感觉到零点的存在只需要函数连续不断，对应端点函数值相反，有助于学生对定理的应用。学生似乎对该定理有很好的理解，但是由于该定理是一个充分不必要条件，学生由于惯性思维往往会有很多想当然的“理解”。这时，利用概念反思，判断正误。从定理反面、必要性上设置问题，激发学生思考，让学生深刻体会到定理的特殊性。即定理只讲明零点的存在性而并没有具体几个零点；如确定单调性则零点唯一；该定理只是说明了零点存在的一种情形。

（四）特殊例子，要有较强的指向性

在课堂练习中，教师让学生完成如下：

【案例六】：练习：〖课堂小练〗下列函数在相应区间内是否存在零点？

（1）f（x）=x3-3x+1，x∈[1，2]；

（2）f（x）=ex-1+4x-4，x∈[0，1].

【案例七】：〖课堂小练〗下列函数在相应区间内是否存在零点？

（1）f（x）=x3-3x+1；

（2）f（x）=ex-1+4x-4，

点评：上面两小题设置在零点存在性定理之后，其实这两个小题是有密切联系的，上述两个方程都是不能直接求解的超越或高次方程，虽然它们的形式不同，但它们是同一类问题，解法是利用函数零点存在性定理判断，教师授课时也可以通过借助多媒体画图观察函数图象，再利用零点存在定理得到零点所在的大致区间；这两个小题设置到例题1解法3之后学生可以通过方程的移项变形，转化为比较两个基本函数的图象交点来解决，这样更有利于图象的直接画出。因此教学中应该引导学生将特殊的两个小题的解题过程作比较，明确两种解法的实质，也有助于变形方向的把握和变形方式的熟练掌握；这样的联系归类也有利于数形结合思想的进一步渗透。虽然是同样的两个小练习，稍加修改，却扮演不同的角色，在零点存在性定理后的作用是练习巩固，目的在定理的应用上，在例1解法3后目的是解题思想方法，起到不同的作用。

学无定法，教亦无定则。如何让学生在课堂当中轻松自如的接受概念、数学方法、数学思想，这就是教学的本质。

参考文献：

[1]董涛.《基于PCK结构框架的数学课例分析程序与特征》.《课程 教材 教法》.2015年11期.

[2]许昌满.《注重本质追求自然——数学概念教学的几点体会》.《中学数学月刊（中学版）》.2015年12期.

[3]沈顺良.《特殊到一般仅仅是形式上的吗？》.《中学数学教学（中学版）》.2012年1期.

[4]陈心五.《中小学课堂教学策略》（第二版）.人民教育出版社.2007年3月第2版.