关于高中数学概率论探究

李泓颢

G633.6

纵观数学发展的历史，数学这门科学曾出现三次重大的飞跃.第一次是从算数到代数的过度，第二次是常量数学到变量数学的过度，第三次就是从确定数学到随机数学的过度。从哲学的角度讲，世界是变化的，世界唯一不变的本质就是无时无刻在变化。现实世界的随机本质使得各个领域从确定性理论转向随机理论成为自然；而随机数学就是研究事物变化的最主要的数学工具。概率论是随机数学中最基础的部分，使我们高中学生所必修的一门基础课.但我们已经习惯了用确定思维方式去学习数学，在学习概率论时时常会感觉到基本概念抽象难以理解，思维难以发散展开。这些都使得我们对这门课望而生畏，甚至有放弃的念头。我认为在概率论的学习过程中建立学习随机数学的思维方法就十分重要。作为高三生，在学习过程中有一些心得在这里想跟大家探讨。

一、了解数学的发展历史，概率论产生的时代背景

这不仅是了解一点点知识，而是从应用的角度，生活的角度宏观的了解这门学科的实用意义 ，也是思维中建立数学模型的一个基础。比如说概率论中最重要的分布——正态分布，就是在18 世纪，为解决天文观测误差而提出的.在17到18 世纪，由于观测仪器不完善以及经验缺乏等原因，天文观测误差很大，是天文学发展的重要问题，科学家投入了大量的研究。1733年，由德国的数学家和天文学家德莫弗（DeMoivre）首次提出正态分布概念，德国数学家高斯（Gauss）率先将正态分布应用于天文学研究，他指出正态分布可以很好地“ 拟合” 误差分布，故正态分布又叫高斯分布。时至今日，正态分布公认为最重要的一种概率分布，也是应用最广泛的一种连续型分布。我们知道概率论中，古典概型要求样本空间有限，而几何概型恰好可以消除这一条件，这两种概型我们不难理解。但是继而出现的概率公理化定义，我们总认为抽象、难以理解。尤其是概率公理化定义里出现的σ 代数这一概念：设Ω 为样本空间，若Ω 的一些子集所组成的集合？ 满足下列条件：（1）Ω∈？ ；（2）若A∈ ？ ，则A∈ ？ ；（3）若∈ n A ？ ，n =1， 2，？？，则∈∞=nnA ∪1？ ，则我们称 ？ 为Ω 的一个σ 代数。我们怎样才能更好的理解这一概念呢？很多同学相比之下更适合形象思维，于是我们引入几何概型的一点历史，帮助理解为什么要建立概率的公理化定义，为什么需要σ 代数。几何概型计算方法是19 世纪末新发展起来的，是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念，从有限向无限的延伸。1899 年，法国学者贝特朗提出了所谓“ 贝特朗悖论” ，矛头直指几何概率概念本身.这个悖论是：给定一个半径为1 的圆，随机取它的一条弦，问：

弦长不小于3 的概率为多大？对于这个问题，我们假定端点在圆周上均匀分布，结果概率等于1/3；假定弦的中点在直径上均匀分布，得出概率为1/2；假定弦的中点在圆内均匀分布，随之概率又等于1/4。同一个问题，竟有3 种不同的答案，原因在于取弦时采用了不同的等可能性假定！这3 种答案针对的是3 种完全不同的随机试验，于各自的随机试验而言，都是正确的.因此在使用“ 随机” 、“ 等可能”、“ 均匀分布” 等条件概念时，应明确其含义，这又因试验而不同而不同.也就是说我们在假定端点在圆周上均匀分布时，就不能考虑弦的中点在直径上均匀分布或弦的中点在圆内均匀分布所对应的事件。换言之，我们在假定端点在圆周上均匀分布时，只把端点在圆周上均匀分布所对应的元素看成为事件。

二、广泛运用案例学习法

案例与一般例题不同，它有产生问题的实际背景，并能够为我们所理解。我们通过案例引导到实际问题中去，通过分析和讨论，提出解决问题的途径和方法。我们可以从直观性、趣味性和易于理解的角度把概率论基础知识加以认知。条件概率一节时有一个有趣的案例——“ 玛丽莲问题” ：十多年前，美国的“ 玛利亚幸运抢答”

了这样一道题在电台公布：三扇门的背后，我们分别定义为1号、2号、3号，分别藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，汽车就归你所有。如果你第一个选择了1 号门，然后主持人打开了剩余两扇门其中的一个，这扇门背后是只羊，你看到了，接着问你是否应该重新选择，以增大猜对汽车的概率？

这个问题与类似于当前电视上一些娱乐竞猜节目，我们很容易积产生兴趣。讨论的结果是这个问题的答案与主持人是否知道所有门背后的东西相关，这样就可以很自然的理解条件概率。在这样热烈的气氛里学习新的概念，一方面使得我们积极性高涨，另一方面让我们认识到所学的概率论知识与我们的日常生活息息相关。因此在学习概率论基础知识时，关注有关经典的案例，会帮助我们理解。例如看电影《赌神》时，我们分析扑克牌出现三A的概率或者同花顺的概率；再比如我们看世界杯时分析某支球队的夺冠概率等。

總之，在概率论的学习中，建立学习随机数学的思维方法，通过信息手段的多样化，来丰富的所学内容，加深我们对客观随机现象的理解与认知。概率论在我们的生活中应用广泛，我们必须掌握这些知识，以便于我们今后的工作和学习中灵活运用。