巧用数轴构建数概念 提升数学核心素养

陈曦

数学是什么？就今天而言，数学已经不仅仅是“研究数量关系和空间形式”的科学，还是一种思维方式，一种理性精神，一种科学态度、交流语言和特殊工具。数学教育也不应该仅仅放在对学生知识的对错负责，更应该为学生的后续发展积蓄力量。因此提倡学科德育，关注核心素养的形成是当下的重要任务。

数概念的学习是学生认识和理解数学的开始。我国儿童心理学家林崇德有关儿童数概念形成的研究表明，儿童数概念形成经历了口头数数──给物说数──按数取物──掌握数概念四个阶段。根据儿童数概念形成的过程我们对数概念的构建策略进行了研究，以期帮助学生形成数感，引领学生数学核心素养的形成。

数轴，尽管在小学阶段不出现具体的概念，但是其在数概念的建构领域，它不仅仅是形象思维走向抽象思维的桥梁，更是建立清晰数概念的半直观半形象的学具。同时对建构完整的数系观念起着很重要的作用。

一、对接数轴，厘清数概念的认知序列

小学阶段，数的认识一般包括以下内容：（以青岛版为例）

1. 以内数的认识──20以内数的认识──100以内数的认识──万以内数的认识──万以上数的认识──认识分数──认识小数──认识负数。

二、依托数轴，从“点状”到“多维”构建数概念的策略

从上述分析来看，数概念知识之间是紧密联系的，要想提升学生的数学核心素养，培养数感，形成问题意识，就要认真挖掘教材结构，把握知识间的联系，依托数轴，从“点状”到“多维”构建数概念的策略。

1.《10以内数的认识》──体现自然数的顺序性、方向性、无限性和排列等差性特点

学生接触数学就是学习数数，也就是《10以内数的认识》。自然数按照逻辑从左往右依次是0，1，2……每相邻两个数相差1，每一个自然数后面都跟着一个比他大1的自然数。自然数不仅仅有基数的意义，还具有序数的意义，即每个自然数既可以看成“第几个”还可以看成“有多少个”。这些意义反应在数轴上便是构建数轴的三要素，（原点、单位长度、正方向）以及向右无限延展的特点。初步构建数轴最基本的原点、基本单位、正方向，为后续构建数轴的右半轴奠定基础。

2.《20以内数的认识》──核心是建构计数单位“十”的概念

《20以内数的认识》是数轴上的数继续往右的继续延伸。数轴上的继续延伸继续体现自然数的顺序性、方向性、无限性和排列等差性等特点，这一点上的迁移是非常必要的，可以让学生在数学的学习中感受“温故而知新”，体会结构上的相同。

这个节点仅仅有数轴是不够的，计数器的使用是必须的。因为一年级学生大多数能按顺序从1数到20，甚至更多，口头数数占主要层面，数概念的理解和认识都几乎没有，对计数单位“十”、“满十进一”、“位值”等概念还很模糊。因此这个节点让学生体会计数单位“十”产生的必要性是本节点的核心点。例如用小棒表示11时，是用形态不同的1捆和1根小棒来区别计数单位“十”与计数单位“一”，不论它们放置的位置如何，都表示11。但是用计数器表示11时，只用形态相同的2颗珠子，是通过珠子的不同位置来区别“十”与“一” 的。既体现了“十进制”原则，又体现了“位值制”原则，所以数轴与计数器的联合使用也为后续学习《100以内数的认识》做好了铺垫。

3.《100以内数的认识》──认识计数单位“百”，初步感知十进制和位值制

《100以内数的认识》是在《20以内数的认识》以及《20以内加减法》的基础上学习的，也是数轴向右的继续延伸。学生已有了计数单位“一”“十”的学习经验，所以这部分核心点就是创造计数单位“百”，并再次感知“十进制”和“位值制”。

对接数轴，引导学生感知任何一个新数的产生和认识都需要遵循这样的原则：

（1）+1，体现数的顺序性和方向性。

（2）十进制。即“一而十，十而百，百而千，千而万。”这样个位、十位、百位、千位、万位以及更大的计数单位就产生了，而达到数轴往右的无限扩展。

4. 分数的认识──在相邻自然数之间的扩充，认识分数单位（也是一种计数单位）

在数轴上的点并非只有自然数这些点稀疏的排列着，实际上它们是紧密排列，而且是连续的，每两个点之间都还有无数个点。这也是数轴无限性特征的表现之一。而分数就是对数轴上的点继续填充。比如在测量物体时，当度量单位太大而不能顺利度量，就需要将度量单位平均分成n份，以其中的1份1/n为度量单位，数出m个单位，度量长度就是m/n。1/n为分数单位，分数单位的累加就是分数值。从这个意义上来讲，分数与自然数的构成与结构是一致的。认识分数需要源于当一个数无法用我们最小的计数单位“一”来组成时，我们就需要产生更小的计数单位。因此在学习分数时，我们需要重点体会的就是先分后数，即先分得出分数单位，数就是分数单位的累加。

5. 小数的认识──体会计数单位向右的扩张，以十进分数体会“十进制”和“位值制”计数原则

小数与分数，从逻辑上来讲，小数是分数中分母是10、100、1000……等十进分数的特殊表现形式；从概念上来讲，小数是十进分数，是一种特殊的分数，同时体现从一般到特殊的学习规律。一位小数的计数单位是十分之一，两位小数的计数单位是百分之一，三位小数的计数单位是千分之一……于是小数点后的第一位为十分位，第二位为百分位，第三位为千分位……这也就不难解释为什么1/10，1/100，1/1000为什么写成0.1，0.01，0.001了。1个十分之一，十分位上写1，整数没有写0来占位，整数与小数之间填上小圆点来隔开，写作0.1（同理其他）。因此小数符合十进制与位置制原则，所以数轴上也有无数个小数。从性质来看，小数的出现标志着十进制计数法从整数扩展到了分数，使分数与整数在形式上获得了统一，同时也是计数单位个、十、百、千、万……向右的无限扩张。

三、贯通数轴，凸显数概念的建构价值

以上是小学阶段右半轴的所有节点。数轴不仅仅可以往右无限扩张，还可以往左无限扩张，于是也就有与正数的根本属性是表示意义相反的量──负数。

《负数的认识》无论在学习方式的选择上还是素材的呈现上都力求对接学生的已有经验和认知，试图激活学生的活动经验。在由单向的数射线变为双向延伸的数直线时，可以尝试是把电梯、温度计模型旋转，从而抽象出一条数直线，从而让学生的抽象有一定的现实依据，从而使数直线的抽象不那么突兀，至此，数轴在小学阶段已经貫通。同时，贯通的数轴也让学生体会数学独有的正反两面的结构美，体会数学的美学价值。

以上通过数轴把小学阶段数概念全部串联起来，从根上理解知识的渊源。有了这个过程，教师的教学更具有启发性，学生的学习也更具有生发意义。学生有了对数学学习结构的类比，也有利于数感的有效培养。对培养学生的学科素养，提升核心素养有着广泛而深远的意义。