“勾股定理”在初中数学中的教学价值分析

戚华虹

[摘 要] 勾股定理是初中生必须学习的知识. 勾股定理是一种计算特殊的三角形（直角三角形）边长、面积的方法，可以说，只要探讨直角三角形，人们就要探讨勾股定理. 本文研究了初中数学教师优化勾股定理教学的方法.

[关键词] 勾股定理；初中数学；数学教学

勾股定理也可以视为一种特殊的三角函数，而三角函数与几何问题、函数问题、解析几何问题都有密切的关系，教师可以通过优化勾股定理教学，为学生学习后续的数学知识做好准备.

勾股定理在培养学生学习兴趣

方面的应用

学生的好奇心强，他们对未知的东西容易产生兴趣，容易对游戏产生兴趣. 勾股定理是最有趣的数学问题之一，无数的数学家还在探索勾股定理的奥妙和证法. 教师可以引导学生了解勾股定理的奥妙，通过探索勾股定理讓他们对数学知识产生兴趣. 下面以教师引导学生学习习题1和习题2为例.

习题1 如图1，这是一棵勾股树，如果图1中正方形A，B，C，D的面积为3，5，2，3，试求正方形树干E的面积.

解答 因为正方形F的面积=S+S=3+5=8，正方形G的面积=S+S=2+3=5，所以正方形E的面积=S+S=13.

图1绘制的是勾股树，学生如果学过勾股定理，便能很快应用勾股定理求出答案. 然而教师可以引导学生思考为什么勾股树可以这样证明，能不能提出勾股树的证明方法. 学生如果要求出勾股树的计算方法，就必须求证勾股定理. 当前勾股定理的证明方法已经超过了100种，教师可以从勾股定理引导学生了解数学变化的乐趣.

习题2 图2是赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形及中间的小正方形构成. 直角三角形的两条直角边的长分别为2和4. 现在，如果把这幅赵爽弦图当作飞镖板，人们一镖飞到中间小正方形的概率是多大？

解答 应用勾股定理可得大正方形的边长为2. 依图形相似的定理可知小正方形与大正方形的面积比为1 ∶ 5，即可知投掷到小正方形的概率为.

对于习题2，教师可以引导学生仔细观察，问问学生习题2像不像七巧板拼出来的图，然后可以引导学生依题意制作硬纸板拼图，让学生在拼接、实践的过程中找到更多计算习题2的办法. 学生在拼接中体验数学知识的过程中，能发掘出更多的数学奥秘，找到更多计算或求证的方法.

数学知识非常奥妙，它涉及具体的数字、抽象的公式、奥妙的图形，教师如果能让学生体验到数学知识变化的奥妙，学生就会更想了解数学知识. 勾股定理是一种非常奇妙的知识，它吸引着无数数学家去探索，教师也可以引导学生去探索，在探索中培养数学情感.

勾股定理在培养学生思维水平

中的应用

学生如果具有较高的思维水平，就能学好数学知识. 学生学习数学需要的思维能力包括发散思维能力、逻辑思维能力、空间想象能力等. 勾股定理是一种与多种数学知识有直接关系的知识，教师可以引导学生以勾股定理为核心，全面培养学生的思维水平，提高学生的思维能力. 下面以习题3为例.

习题3 如图3，已知圆O与坐标轴交于A（1，0），B（5，0）两点，点O的纵坐标为，求圆O的半径.

解答 过点O作OC⊥AB于点C，于是有AC=BC. 由A（1，0），B（5，0）这两点的坐标可知AB=4，于是可得AC=2. 在Rt△AOC中，因为点O的纵坐标为，所以OC=. 于是可得圆O的半径OA===3.

部分学生看到习题3的解题步骤，觉得这一解法很神奇. 很多学生表示，假如我不会做习题3，那么怎么才会知道过点O作OC⊥AB于点C是解题的关键呢？教师可以引导学生思考：假如从处理几何的问题来看，一般几何问题要求的就是边和角问题. 假如学生能把几何问题变成勾股问题，学生是不是能够结合勾股定理这一几何图形的计算公式计算出边和角的问题？如果学生能明白几何图形的计算目的，并能以计算为方向应用勾股定理，学生就会理解作这一辅助线的原理. 教师可应用勾股定理培养学生以下思维能力：第一，可以引导学生从习题3出发，培养学生的发散思维能力. 教师可以让学生看到，不是只有遇到了直角三角形，才应想到应用勾股定理，而是遇到了计算有关边长与角的问题，就该思考能不能把数学问题变成勾股定理来解决. 第二，可以应用勾股定理培养学生的空间想象能力，如习题3中，虽然这一道题似乎没有涉及勾股定理，但学生只要添上一条辅助线，就可以把它变成直角三角形问题，应用勾股定理来解决. 第三，可以培养学生的逻辑思维能力. 当学生应用辅助线，把圆的问题变成勾股定理问题以后，学生必须通过严谨的推理计算过程，才能得到正确的答案，学生在计算过程中，不能随便创造已知条件，更不能主观臆断地获得数学答案.

勾股定理是一种非常实用的数学定理，它被广泛地应用于数学知识中. 教师可以通过引导学生学习勾股定理，从而全面培养学生的思维能力，使学生能够从更宏观的角度、更广阔的几何空间、更庞大的数学体系中理解数学知识.

勾股定理在培养学生实践能力

中的应用

学生应该把数学知识融入生活，应用数学知识优化生活. 提高数学实践能力，是新课改提出的教学目的之一. 勾股定理是一种非常实用的数学知识，教师可以引导学生在生活中发现勾股定理问题，应用勾股定理来解释及解决生活问题. 下面以习题4为例.

习题4 有一个长3米的梯子AB，斜靠在一竖直墙AO上，此时AO的距离为2.5米. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B是向外滑了0.5米吗？

解答 可依题意画出示意图4，在Rt△OAB中，OB2=AB2-AO2，于是可得OB=≈1.658. 同理，在Rt△OCD中，应用勾股定理可得OD=≈2.236. 于是可求得BD=OD-OB≈0.578. 于是可知，实际上点B外移了约0.578米.

部分同学在做这道习题时很少去思考墙壁、墙角中还存在勾股定理的知识，但通过这道习题，学生会发现原来生活中处处都有勾股定理的影子. 通过这次学习，学生还发现了勾股定理应用的原理——通过计算三角形的边是否满足勾股定理，从而了解角度的正确性. 依此原理，如果学生要在生活中钉一个椅子角，想了解椅子角是不是90°，便可以应用勾股定理来验证及矫正. 如果要了解一面墙的角度对不对，也可以应用同样的方法来矫正.

习题5 有一块直角三角形绿地，现已知两直角边的长分别为6米和8米，现要将绿地扩充成等腰三角形，并且扩充部分是以8米为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形的周长是多少.

刚开始，学生认为直角三角形改造成等腰三角形绿地的方法只有一种，图5是同学们提出最多的一种改造方法. 然而，也有部分学生提出了图6和图7的改造方法. 同学们总结了这三种改造方法后，计算出了三种改造后绿地的周长.

解答 由条件知AC=8，BC=6，在Rt△ABC中容易求得斜边AB=10. 如图5，现让AB=AD=10，那么可知CD=CB=6，于是△ABD的周长为32米. 如图6，现让BD=AB=10，那么可得CD=4，由勾股定理可得AD=4，从而可得△ABD的周长为（20+4）米. 如图7，当AB为底时，设AD=BD=x，那么可得CD=x-6，由勾股定理可得x=，于是可得△ABD的周长为米.

在这次实践中，学生了解了在思考数学问题时，不能主观臆断，不能应用错误的思维创造已知条件或限制已知条件，而要全面理解数学问题，客观地应用数学知识来解决数学问题.

当然，学生在生活中应用勾股定理的范围不止于此，教师还可以应用其他教学方法让学生发现更多勾股定理的应用方法. 比如，教师可以引导学生应用勾股定理来计算高坡的海拔、窗口的高度、旗杆的长度等，让学生进一步体验勾股定理的应用方法. 当学生在生活中应用大量勾股定理的知识以后，便会以勾股定理的知识为范例，思考其他数学知识能不能也应用在生活中，从而慢慢找到其他数学知识的应用案例.

學生在实践中会发现一些生活中不曾想过的数学问题，会遇到在数学理论学习中不曾预知的学习障碍. 学生在实践中可以一边吸收理论知识，一边应用数学实践克服各种学习难题. 教师可以应用勾股定理的学习，引导学生进行各种数学实践活动.

总结

勾股定理可以视为一种特殊的三角函数知识，它是学生进一步认识三角形边、角问题的知识基础. 教师可以在勾股定理教学中培养学生的数学兴趣，提高学生的思维水平，增强学生的实践能力，为学生学好后续的数学知识打好坚实的基础.