彰显数形结合之妙凸现水乳交融之美

李姝璇

函数、导数和不等式部分内容在高考中的考查可以说是全方位的，从考查要求来讲，它不仅有基础知识、基本技能的考查，更有数学思想、数学本质的考查，从考查内容来看，它不仅有函数知识内部的显性考查，更有与其他主干知识相结合的隐性考查.合与分、动与静、直与曲、有限与无限、常量与变量及函数、局部与整体等是数学中分析与研究的常用辩证观，从这些观点出发，给高考压轴题的研究带来许多启迪.正因为其涉及内容较广、表现形式多样、思维层次较高，因而，倍受命题者的青睐.下面我们谈一谈高考中一类函数、导数与不等式综合问题的新解法.

首先，介绍一条引理：

引理函数y=f（x）及其导函数y=f′（x）在定义域D内可导，且y=f″（x）>0（或f″（x）<0）在定义域D内恒成立，y=g（x）=kx+m为曲线上任意切线，则f（x）≥g（x）或f（x）≤g（x））恒成立，有且仅有一个x0∈D使得f（x0）=g（x0）.

下面看看其应用：

例1（2013年全国新课标Ⅱ卷21题）f（x）=ex-ln（x+m）.当m≤2，证明f（x）>0.

证明y=ex在（0，1）处切线方程为y=x+1，y=ln（x+2）在（-1，0）处切线方程为y=x+1，即y=x+1为y=ex与y=ln（x+2）的公切线，而y=ex为下凸函数，y=ln（x+2）为上凸函数，故ex≥x+1≥ln（x+2）恒成立，而对于y=ln（x+m），当m≤2，ln（x+m）≤ln（x+2）恒成立，故当m≤2，ex-ln（x+m）≥0恒成立.

例2（2013年全国新课标卷21题）f（x）=f′（1）ex-1-f（0）x+112x2.① 求f（x）解析式和單调区间；② f（x）=112x2+ax+b，求（a+1）b的最大值.

解① 求得f（x）=ex-x+112x2，② 由① ex≥（a+1）x+b.设g（x）=exy=（a+1）x+b，要使ex≥（a+1）x+b在实数集上恒成立，只需y=（a+1）x+b是曲线g（x）=ex的切线，设切点（x0，ex0），则g（x）=ex在（x0，ex0）处切线方程为y=ex0（x-x0）+ex0.故a+1=ex0，b=ex0（1-x0），故（a+1）b=e2x0（1-x0）.设h（x0）=e2x0（1-x0），则h′（x0）=e2x0（1-2x0）.令h′（x0）=0，得x0=112，所以h（x0）在-∞，112为单调增函数，在112，+∞为单调减函数，故h（x0）max=e12，即当a=-1+e112，b=112e112时，（a+1）b最大值为e12.

例3（2010年全国Ⅱ卷第22题）设函数f（x）=1-e-x.

（Ⅰ）证明当x>-1时，f（x）≥x1x+1；

（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤x1ax+1，求a的取值范围.

（Ⅰ）证明为了证当x>-1时，f（x）≥x1x+1，只需证1-e-x≥x1x+1，即证1-x1x+1≥e-x.即证ex≥x+1，而f（x）=ex为凹函数且g（x）=x+1为f（x）=ex在（0，1）处切线，显然ex≥x+1，故当x>-1时，f（x）≥x1x+1.

（Ⅱ）解由题设，问题转化为当x≥0时，1-e-x-x1ax+1≤0，求a的取值范围.令g（x）=1-e-x-x1ax+1，则问题又转化为当x≥0时，g（x）≤g（0）.求a的取值范围.当x≥0时，只需g′（x）≤0，即1-e-x-x1ax+1′≤0，即e-x（ax+1）2-11（ax+1）2≤0，注意到分母（ax+1）2>0，故只需e-x（ax+1）2-1≤0，即（ax+1）2≤ex.

若a>0，∵x≥0，则ax+1>0，∴只需ax+1

若a=0，（ax+1）2

若a<0，x>-11a时x1ax+1<0，而此时f（x）≥0，

∴与f（x）≤x1ax+1矛盾.

综上，0≤a≤112为所求.

例4（2007福建理）f（x）=ex-kx，x∈R，若k>0，f（|x|）>0恒成立，求k的范围.

解由f（|-x|）=f（|x|）知f（|x|）为偶函数，于是f（|x|）>0对任意x∈R成立，即f（x）>0，即ex>kx对任x≥0成立.显然，g（x）=ex为凹函数，且g′（x）=ex，切线方程为y-ex0=ex0（x-x0）.当切线过原点时，x0=1此时切线方程为y=ex.

因此，只需e>k，∴0

可见，“不等式”，即“等与不等”“数与形”水乳交融般和谐美的体现.我国著名数学家华罗庚对“数”与“形”之间的密切联系有过一段精彩的描述：“数与形本是相依，焉能分作两边飞，数缺形少直觉，形少数难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休，切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫分离.”寥寥数语，把“数形结合”之妙说得淋漓尽致.