求解复数问题的思维策略

王世铎

(山东省济宁市实验中学，山东 济宁 312400)



求解复数问题的思维策略

王世铎

(山东省济宁市实验中学，山东 济宁 312400)

本文就复数问题求解中常用的思维策略加以阐述，对提高解答复数问题的能力具有参考价值.

复数问题；思维策略；解题

一、化虚为实的思维策略

利用复数的代数形式将复数问题转化为实数问题是一种最常见的解题策略，主要运用复数相等和模的概念，把复数问题“实数化”.

故所求一个以z为根的实系数一元二次方程可以是x2-6x+10=0.

二、分类讨论的思维策略

分类讨论是指按照一定的标准，把研究对象分成几个部分或几种情况逐一求解的过程，这也是一种常见的解题策略．解题时，应关注复数的分类，掌握一个复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件.

解 若α、β为实数，则Δ=4-4k≥0且|α-β|2=(α-β)2,解得k=-1.

若α、β为虚数，则Δ=4-4k<0且α,β共轭，|α-β|2=-(α-β)2，解得k=3．

综上，k=-1或k=3．

三、整体处理的思维策略

整体处理是数学解题策略中的又一种重要的思维方法，解答复数问题，要学会从整体的角度出发去分析和求解(整体思想贯穿整个复数内容).若遇到复数就设z=a+bi(a、b∈R)，则有时会给问题的解答带来不必要的运算上的困难，如能把握住复数的整体性质，充分运用整体思想求解，往往能收到事半功倍的效果.

例3 若虚数z满足z3=8，则z3+z2+2z+2的值是____．

分析 若设z=a+bi(b≠0)，代入求值，过程复杂，不易求解，但运用整体代入的思维策略则显得简洁明快．

解 ∵z3=8,∴(z-2)(z2+2z+4)=0.

∵z是虚数，∴z≠2．

∴z2+2z+4=0，即z2+2z+2=-2．

故z3+z2+2z+2=8-2=6．

实际上例1也可以整体化处理：

四、数形结合的思维策略

由于复数既可用代数形式，也可用几何形式表示，这使复数的各种运算都具有了几何意义，因此复数解题时常以形助数，数形结合，使问题的解决更加形象．

例4 复数z1=1+2i，z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．

注：利用向量运算法则求复数关键是找出所求复数对应的向量，然后再根据几何意义求出复数．

解法2 如图1，设复数z1,z2,z3所对应的点分别为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi (x、y∈R)， ∵点A与点C关于原点对称，∴B、D关于O点对称，即(-2+i)+(x+yi)=0,∴x=2,y=-1． 故D对应的复数为2-i．

点评 解法1的关键是要善于发现问题中可能被利用的条件，寻找最佳的解题方法；解法2利用正方形是对称图形，数形结合.解题思路巧妙，实质是运用了平行四边形对角线互相平分的性质．

五、函数与方程的思维策略

例5 (2008年高考题(沪))已知z∈C,且|z-2 -2i|=1,i为虚数单位，则|z+2-2i|的最小值是____.

解 设z=x+yi(x、y∈R)，则(x-2)2+(y-2)2=1.

另外，本题考虑几何意义也可速解：z对应的点在以(2，2)为圆心，1为半径的圆上，|z+2-2i|表示z对应的点到点(-2，2)的距离，则|z+2-2i|的最小值是3.

例6 已知关于x的方程x2+zx+4+3i=0有实数根，求复数z的模的最小值．

解 设x∈R且x≠0，则

点评 虚系数方程有实根，只说明x可以取实数，而不能用判别式判断方程是否有实根．

[1]郑毓信.“数学文化”与数学教育[J].中学数学教学参考，2005(10).

[2]赵菁蕾，张维忠.数学新教材中的数学文化[J].中学数学教学参考，2006(14).

[责任编辑：杨惠民]

2017-05-01

王世铎(2000.8)，男,山东省济宁市实验中学2015级实验班8班学生。

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1008-0333(2017)16-0051-02