“突破常规”别样解题也精彩——从一道高考立体几何复习题谈起

常晓兵

(新疆大学附属中学,新疆 乌鲁木齐 830000)



“突破常规”别样解题也精彩
——从一道高考立体几何复习题谈起

常晓兵

(新疆大学附属中学,新疆 乌鲁木齐 830000)

本文试图利用课堂上实际解决一道立体几何题目的过程，向学生展示如何写出动点坐标，引导学生利用已知的知识，例如平面内的直线方程，解决空间点的坐标问题.同时，想说明解题无定法，不能有固定思维.立体几何题目的一问就用传统的方法解决，第二问就建系，需要具体问题具体对待.探寻解决问题的最好方法，用学生最易理解的方法解题.

集合题目；解题方法

立体几何是培养学生空间想象能力最有力的工具,也是高考的重要考点,空间向量为解决立体几何问题提供了一个十分有效的工具.因此人教版数学选修2-1第三章“空间向量与立体几何”对此进行了专题研究.但在实际教学中笔者发现：目前高考的立体几何问题一般分为两小问，第一小问多为空间中各种几何元素的位置关系的问题；例如：要求证明线面垂直、面面垂直、线面平行等等；而第二小问多为求二面角、空间距离的问题.由于题目的固定性，导致解题方法也比较固定，一般学生在解决第一小问通常采用传统方法，即利用学习过的判定定理、性质定理及各种推论；解决第二小问一般采用建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角与二面角的关系求解.但笔者也发现，目前理科的立体几何题目的出题者有意识的在加大难度.调整考察角度，如下题：

题目：如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE.(1)在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论；(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值.

分析 本题第一小问涉及到动点P的位置的确定，学生对该类题目的解答不太熟悉，若采用传统方法解题，势必落入作多条辅助线的困境，对学生的空间想象能力的要求较高；而标准答案也是采用了传统方法解答.第二小问求二面角的平面角的余弦值，大多数学生都会采用建系的方法，利用空间直角坐标系解答.从表面上看这样做是比较合理的，但实际在解题过程中会发现，这样做就落入了出题者的陷阱，大量的计算使学生疲于应付.最终笔者引导学生尝试第一问就建系，看看能否解决问题.

此时有同学提出这样的证明不完备，理由是甲同学事先如何知道P为BC的中点？

笔者抓住这个契机，就问大家那么怎样解决这个问题呢？从甲同学的证明过程看，点P的确满足题目的要求啊！此时乙同学举手说到，应该设点P的坐标为(x,y,z),利用题目給出的条件解出坐标的值.笔者接着问：“点P的坐标有三个未知数，需要三个方程，那么请同学们找出三个方程解出坐标的值，这时有同学提出解不出来，条件不够；乙同学又说：点P在xOy平面内它的竖坐标为0.大家的情绪又被调动起来了，这时只需要两个方程就可以解出来了.笔者给同学们几分钟的时间讨论，突然同学丙举手说：老师，点P在直线BC上，能否利用直线的方程找到x与y的函数关系，这样就只需要一个方程.但有同学提出，在空间中的直线方程没学过啊！丙同学说：直线BC就在平面xOy内，能否在平面直角坐标系中建立x与y的函数关系，然后求解.

(2)过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于点G，连接DG.因为ED∥AC，所以ED∥l，则l是平面EBD与平面ABC的交线.因为平面EAC⊥平面ABC,DC⊥AC,所以DC⊥平面ABC，所以DC⊥l.又CG⊥l，所以l⊥平面DCG，所以l⊥DG，所以∠DGC即为所求二面角的平面角.

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.高中数学选修2-1(人教A版).北京：人民教育出版社，2007，第2版.

[责任编辑 杨惠民]

2017-05-01

常晓兵(1978.12-)，男，本科学历，陕西米脂人，中学一级教师，从事中学数学教学.

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1008-0333(2017)16-0053-02