“奔驰定理”巧解一类三角形的面积比

四川 蒋 敏

“奔驰定理”巧解一类三角形的面积比

四川 蒋 敏

向量既有代数的运算，又有几何的特征，是沟通几何与代数的桥梁．当向量遇上三角形，由向量关系得出三角形面积的比值，属于选择、填空题中的难题．在高考、自主招生考试中时有出现，其基本特征是：已知三角形内任意一点O，再给出相关向量的线性关系，求相关三角形面积的比值．下面通过一道例题来探求这类题型的相关规律：

【典例】已知点O为△ABC内一点，且有，记△ABC，△BOC，△AOC的面积分别为S1，S2， S3，则S1∶S2∶S3等于 （ ）

A．3∶2∶1 B．3∶1∶2

C．6∶1∶2 D．6∶2∶1

1．“大胆猜想”——感性思维的直观解法

【解法1】因为，由直觉并联想杠杆原理，在质点系下，的1倍与△BOC的面积平衡的2倍才能与△AOC的面积平衡，的3倍才能与△AOB的面积平衡，所以S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶3．

从而△ABC，△BOC，△AOC的面积S1∶S2∶S3＝6∶1∶2，故选C．

【评注】根据题干的已知条件及图形的大致特征，大胆开启“猜想模式”，是解答选填题“不择手段，小题小做”的一种途径．

2．“小心求证”——理性思维的严格推理

攻略1：合理转化，利用向量共线定理

【解法2】如图分别取AC、BC的中点D、E，

由向量共线定理可知，O，D，E三点共线，

【评注】由于同底的两个三角形面积之比等于高的比值，利用向量共线定理，找出对应线段的比例，转化到对应高的比值上来，合理化归是一种常用的数学思想．

攻略2：利用三点共线的向量表达式

【解法3】如图，延长AO交BC于M．

【评注】利用三点共线的向量表达式：起点相同，终点共线，则分解后的系数之和等于1的小结论，巧妙得出λ，步步为营，进一步求得面积的比值，这与解法2有异曲同工之妙！

攻略3：“另辟蹊径”——解析法闪亮登场

【解法4】如图，以B为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．

于是△ABC、△BOC面积的比值，转化为A、O纵坐标的比值，设A、O的纵坐标分别为y1、y2，由于可知等式左边向量的纵坐标为0：

（y1－y2）＋2（0－y2）＋3（0－y2）＝0，

【评注】解析法是将几何问题代数化，通过坐标运算，体现了数形结合的思想．是解决向量问题的一种常用办法．选好原点，建好坐标系，过程优美简洁，一气呵成！

3．“千呼万唤始出来”——公式法速解巧解面积比

【定理】已知O为△ABC内的一点，且有，记△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3＝x∶y∶z．

【证明】设．由题意可得，

所以O为△DEF的重心，由重心与顶点形成的三个三角形面积相等，可得S△OEF∶SΔOFD∶S△ODE＝1∶1∶1，

【评注】此类问题对应的图形特别像奔驰汽车的标志，我们形象地称上述小结论为三角形中的奔驰定理．特别地，当x＝y＝z＝1时，O为△ABC的重心．

【解法5】由于，由结论可得S△BOC∶ S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶3，S1∶S2∶S3＝6∶1∶2，故选C．

【评注】“奔驰定理”结论简洁，易于记忆．目的性很强，快速得出结果．对于解决选择题、填空题更加独具优势，别具一格．

【变式1】已知P是△ABC内一点，则△ABC与△ABP的面积之比为 （ ）

4．“我思考，我快乐”——思维的发散

【推广1】面积与向量的结合

【例1】（南京大学自主招生考试）已知O为△ABC内的任意一点，求证：．（其中S1，S2， S3为△BOC，△AOC，△AOB的面积）

【证明】设∠AOB＝α，∠AOC＝β，OA＝x，OB＝y，OC＝z．利用三角形正弦定理和面积公式，式子左边

对上式两边同时与→OA作数量积得：

作数量积都得0．

【推广2】“外面的世界更大”——将三角形内部一点推广至所在平面内的任意一点

【例2】（全国高中联赛湖北省预赛）已知点P是△ABC所在平面上的一点，满足．求△ABP面积与△ABC面积之比．

【解析】将，变形得．

【评注】推广后的结论中，O为△ABC所在平面内的任意一点，该点可在三角形内部，外部，或者边上．系数可能出现负数，此时点O在三角形外部，这时，只需取绝对值即可．但必须注意到，此时△ABC的面积不是最大，用结论时的参照系数为实际系数之和．

【解析】整理为，由结论可得面积的比为2∶1∶4．

（作者单位：四川省南充龙门中学）