设而不求在解题中的灵活应用

福建 林 静

设而不求在解题中的灵活应用

福建 林 静

“设而不求”是数学解题中一种灵活并能简化计算的解题方法，通过把存在但难求的某个量假设出来，利用代换来规避正面强求的计算，应用恰当可以起到事半功倍的作用．

1．设而不求在函数与导数中的应用

【例2】（2016·新课标Ⅰ卷理·21）已知函数f（x）＝（x－2）ex＋a（x－1）2有两个零点．

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1＋x2＜2．【解析】（Ⅰ）由f（x）＝（x－2）ex＋a（x－1）2＝0

当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，x→＋1，g（x）→－∞；x→－∞，g（x）→0；

当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，x→＋1，g（x）→－∞；x→∞，g（x）→＋∞．

由条件得－a＜0即a＞0．则a的取值范围为（0，＋∞）．

（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）可知当a＞0时直线y＝－a与y＝g（x）有两个交点且g（x1）＝g（x2）．

由条件不妨设x1＜1，x2＞1，则2－x1＞1，则g（x2）＝g（x1）＜g（2－x1），而y＝g（x）在x＞1上为单调递增函数，x2＜2－x1，则x1＋x2＜2．

法二：由条件不妨设x1＜1，x2＞1，则2－x1＞1，

则f（x2）＝f（x1）＝（x1－2）ex1＋a（x1－1）2＝0，

则f（2－x1）＝－x1e2－x1＋a（x1－1）2．

设h（x）＝－xe2－x－（x－2）ex，

则h′（x）＝（x－1）（e2－x－ex）＜0，h（x）＞h（1）＝0．

即f（2－x1）＞0＝f（x2）．

由a＞0，可判断f（x）在x＞1上单调递增，2－x1＞x2，

即x1＋x2＜2．

【评析】法一根据直线y＝－a与y＝g（x）有两个交点，假设交点（x1，g（x1）），（x2，g（x2））利用对称性、函数增长速度以及函数的单调性找出g（x1）与g（2－x1）的大小关系．避免了求交点的坐标；法二是假设方程的解并用解表示参数建立函数，利用单调性寻找关系2－x1＞x2，避免了解方程．

2．设而不求在解三角形中的应用

通过假设未知数建立方程，借用未知数利用设而不求解决三角形中的有关问题．

【例3】（2011·新课标卷Ⅰ理·16）在△ABC中，∠B＝ 60°，则AB＋2BC的最大值为_______．

【解析】条件中只有一边和一角，因此要设置未知数，建立方程，构建函数．

【例4】在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、 c，c＝2，点D在AC上．

（Ⅰ）当BD⊥AB，且BD＝2时，求BC的长；

（Ⅱ）当AD＝2DC且BD＝1时，求△ABC的面积S△ABC．

【解析】（Ⅰ）由正弦定理易求．

即9x2＝a2＋2a＋4①，∵∠ADB＋∠BDC＝π，

化简得：6x2＝2a2＋1②，

【评析】通过假设线段DC的长x建立方程①②，通过替换x解决了问题规避了烦琐的计算．

3．设而不求在直线与圆锥曲线相交位置关系问题中的应用

（1）设而不求在求直线与圆锥曲线相交得到的弦长中的应用

通过韦达定理利用避免了求直线与圆锥曲线的交点坐标．

【例5】（2016·新课标Ⅰ卷理·20）设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C、D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．

（Ⅰ）证明｜EA｜＋｜EB｜为定值，并写出点E的轨迹方程；

（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于MN两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于PQ两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

法二：由条件可设M（x1，y1），N（x2，y2），

若m≠0，直线l的方程为x＝my＋1，

即mx＋y－m＝0．

所以四边形MPNQ面积为

若m＝0，直线l的方程为x＝1，

易求｜MN｜＝3，｜PQ｜＝8，四边形MPNQ面积为12．综上，四边形MPNQ面积的取值范围为．

法三：由条件可设M（x1，y1），N（x2，y2），若k∈R，k≠0，直线l的方程为y＝k（x－1），

即x＋ky－1＝0．

则．

若k∈，直线l的方程为x＝1，

易求｜MN｜＝3，｜PQ｜＝8，四边形MPNQ面积为12．

【评析】通过假设直线l交曲线C1的交点MN的坐标，利用韦达定理巧妙地避免正面求交点坐标的复杂计算．

（2）设而不求在求动点的轨迹方程中的应用

利用设而不求建立所求点的坐标与主动点的坐标之间的关系，再通过主动点所在的曲线建立所求点的轨迹方程．

【例6】已知圆x2＋y2＝4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

（Ⅰ）求线段AP中点的轨迹方程；

（Ⅱ）若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

【解析】（Ⅰ）线段AP中点的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1，过程略；

（Ⅱ）设线段PQ中点坐标为（x，y），点P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y．

即（x1－1）（x2－1）＋（y1－1）（y2－1）＝0

x1x2＋y1y2－2x－2y＋2＝0，由（x1＋x2）2＋（y1＋y2）2＝4x2＋4y2得x2＋y2－x－y＝1．

线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y＝1．

（3）设而不求在证明定值中的应用

通过假设点的坐标利用它所满足的曲线方程而解决问题．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P的椭圆C上一点直线PA与y轴交于点M，直线PB与N轴交于点N．

4．设而不求在有关向量问题中的应用

【例8】已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为 （ ）

【解析】通过假设未知数，利用未知数建立所求问题的函数解析式，使用设而不求解决问题．

设∠APO＝α（0°＜α＜90°），

通过以上例题可以看到，设而不求在数学解题中是一种灵活且能突破计算瓶颈的方法．

（作者单位：福建省武平第一中学）