数学文化题组训练

陕西 韩红军

数学文化题组训练

陕西 韩红军

2017年高考大纲明确规定要考查数学文化，即将开始的新一轮课程改革也将数学文化作为课程中的一部分内容，而数学文化可以与高中数学中的多个知识点交汇融合，形成背景新颖、构思巧妙、考查面广、综合性强的试题．

一、与算法交汇的数学文化题

1．（2017·四川模拟）公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3．14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为 （ ）

A．12 B．24 C．48 D．96

2．将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排 成一数列，如左图．如右图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m＝4则相应最后的输出S的值是．

二、与概率交汇的数学文化题

3．（2017·吉林模拟）我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约 （ ）

A．164石 B．178石 C．189石 D．196石

三、与函数交汇的数学文化题

四、与三角函数交汇的数学文化题

5．（2016·肇庆模拟）《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致．如某一问题：现有扇形田，下周长（弧长）20步，径长（两段半径的和）24步，则该扇形田的面积为________平方步．

五、与立体几何交汇的数学文化题

7．（2017·黄石模拟）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是 （ ）

A．a，bB．a，cC．c，bD．b，d

8．公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，即V＝kD3，欧几里得未给出k的值．17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V＝kD3中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式V＝kD3求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a）、等边圆柱（底面圆的直径为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为k1、k2、k3，那么k1∶k2∶k3＝ （ ）

A．3 B．3．14 C．3．2 D．3．3

六、与数列交汇的数学文化题

11．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有懒女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个懒惰的女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布 （ ）

A．30尺 B．90尺 C．150尺 D．180尺

12．《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布

13．如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，则这个数列的第21项的值为 （ ）

A．66 B．220 C．78 D．286

【参考答案与提示】

1．B 【解析】由程序框图，n，S的值依次为：n＝6，S＝2．59808；n＝12，S＝3；n＝24，S＝3．10583，此时满足S≥3．10，输出n＝24，故选B．

(1)以中青年教师为主。独立学院由于建校时间不长，自有引进教师主要为应届毕业生，进校时年龄普遍集中在 30 岁以下，而且所占比例一般都超过了50%以上。

j＝4，不满足条件j≤i，则i＝4，不满足条件i＜m，输出S＝15；故填15．

【评注】本题主要考查了循环结构，这是一个嵌套式循环，解题的关键是逐一分析判断框的条件，同时考查了组合数公式．

【评注】本题是秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题，实际考查抽样方法中的简单随机抽样．

【评注】此题考查的是函数图象与坐标轴交点坐标的求法、函数图象交点坐标的求法、图形面积的求法等知识．

【评注】本题以《九章算术》中“以径乘周四而一”的算法为背景，考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力．

【评注】本题以《九章算术》中《方田》章给出计算弧田面积为背景，考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解和计算能力．

7．A 【解析】正视图和侧视图完全相同时，牟合方盖相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，而俯视图为一个正方形，且有两条实线的对角线，故选A．

【评注】本题是以刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体——牟合方盖为背景，考查牟合方盖的三视图．

【评注】本题是以古希腊欧几里得在《几何原本》里提出的V＝kD3为背景，考查球、等边圆柱、正方体的体积中常数k的比值．

【评注】本题是以《九章算术》卷五《商功》记载的圆堡瑽为背景，考查利用圆堡瑽的体积推圆周率π的值．

【评注】本题是以《九章算术》卷五《商功》记载的圆柱形谷仓为背景，考查利用圆柱形谷仓的体积计算圆柱底圆周长的值．

【评注】本题是以《张丘建算经》中的一个问题为背景，考查等差数列前n项和公式．

【评注】本题是以《张丘建算经》中的一个问题为背景，考查等差数列前n项和公式的应用．

【评注】本题借助于杨辉三角对数列的综合应用进行考查，关键是要找到规律．

（作者单位：陕西省麟游县中学）