自主选择构造命题 严谨规范推理证明

2017-09-04 04:52邓厚波
初中生世界·七年级 2017年7期
关键词:正确性外角过点

邓厚波

苏科版《数学》教材第166页“探索研究”第12题,给出三个条件,要求我们用两个事项作为条件,另一个事项作为结构,构造1~3个命题,并判断和证明命题的真假.这类习题在各级考试中比较常见,应对这类考题的关键是先在草稿上构造真命题,然后贯通思路,再严谨规范书写推理证明.下面我们举例关注这类问题.

例1 如下图,有三个论断:①∠1=∠2;②∠B=∠D;③∠A=∠C,请从中任选两个作为条件,另一个作為结论构成一个命题,并证明该命题的正确性.

【解析】(方法1)已知∠B=∠D,∠A=∠C,证明∠1=∠2.

证明:∵∠A=∠C,∴AB∥CD.

∴∠B=∠BFC.

∵∠B=∠D,∴∠BFC=∠D.

∴DE∥BF.∴∠DMN=∠BNM.

∵∠1=∠DMN,∠2=∠BNM,∴∠1=∠2.

(方法2)已知∠B=∠D,∠1=∠2,证明∠A=∠C.证明过程略.

(方法3)已知∠1=∠2,∠A=∠C,证明∠B=∠D.证明过程略.

例2 如右图所示,已知AB∥CD,分别探究下面图形中∠APC,∠PAB,∠PCD的关系,请你从四个图形中任选一个,说明你所探究的结论的正确性.

(1)结论:① ;② ;

③ ;④ ;

(2)选择结论 ,说明理由.

图3 图4

【解析】(1)①如图1,过点P作PE∥AB,则AB∥PE∥CD,

∴∠1+∠PAB=180°,

∠2+∠PCD=180°,

∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°;

②如图2,过点P作直线PE∥AB,

∵AB∥CD,∴AB∥PE∥CD,

∴∠PAB=∠3,∠PCD=∠4,

∴∠APC=∠PAB+∠PCD;

③如图3,∵AB∥CD,∴∠PEB=∠PCD.

∵∠PEB是△APE的外角,

∴∠PEB=∠PAB+∠APC,

∴∠PCD=∠APC+∠PAB;

④如图4,∵AB∥CD,∴∠PAB=∠PFD,

∵∠PFD是△CPF的外角,

∴∠PCD+∠APC=∠PFD,

∴∠PAB=∠APC+∠PCD.

(2)选择结论①,证明同上.

(作者单位:江苏省海安县城南实验中学)

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