二次函数解析式的求法

江西省南城县沙洲中学 万 琳

二次函数解析式的求法

江西省南城县沙洲中学 万 琳

函数是建立数学模型的基础，如果要解决实际生活中的数学相关问题，就要建立数学模型，让学生可以利用函数结合身边的生活实际中出现的或者类似的一些数学问题来分析它，然后想办法解决。

函数包括一次函数、反比例函数、二次函数等等。函数是初中数学的重要内容，是不可缺少的一部分，比较抽象。许多学生学起来感到很辛苦，觉得里面的内容很难理解，很难把握。尤其是二次函数的综合运用，学生往往是无从下手，很无助，很无奈，有时看到题目毫无办法，只能干瞪眼。

二次函数是中考的热点和考查的重点，可以考查学生的综合能力，这是学生最怕、最头疼的地方。从近几年中考的情况来看，二次函数的得分情况不容乐观。

作为从事教学工作的一线教师，我们就应该认真负责，检讨自己不足的地方、做得还不够好的地方。我们应该在教学中小心谨慎，从细微之处入手，因为细节决定成败。我准备通过具体的例子让学生认识二次函数，探索研究二次函数解析式的求法。

在初中学习过程中，二次函数的求法形式多样，方法不一。如何根据题意，找到一种最简单而有效的方法，是学生在学习中遇到的问题。下面通过举例结合习题来研究探索。

例1 已知二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点为（2，3），且抛物线经过点（3，1），那么这条抛物线的解析式是？

解：由图象顶点为（2,3）设函数解析式为y=a（x-2）2+3，

又抛物线经过点（3，1），∴1=a（3-2）2+3，∴a= -2，

∴解析式为y= -2（x-2）2+3，即y=-2x2+8x-5。

例2 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标是2和-4，顶点的纵坐标是3，求此二次函数的解析式。

分析：此题为二次函数求解析式中常见的类型，解法较多。

解法一：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意，可得：

解法二：设抛物线的解析式为y=a（x-m）2+3，根据题意，得：

解法四：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c。

解法五：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题意可知，2和-4是方程ax2+bx+c=0的两个根，∴y=ax2+bx+c=a（x-2）（x+4），

解法六：可以应用抛物线的对称性求出顶点坐标，然后再用顶点式来求二次函数的解析式，更为简单。

根据题意可知，抛物线与x轴相交于A（2，0）、B（-4，0）两点，由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为x=-1，则二次函数的顶点是（-1，3），

结论：通过以上六种解法我们可以分析比较，得出判断：解法三和解法四利用了抛物线的对称性，解法更简便，解法五和解法六把二次函数与一元二次方程的知识结合起来，解法很有新意，让人眼前一亮。

已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标和顶点坐标，或者已知抛物线与x轴的两个交点坐标和顶点的纵坐标，或已知抛物线的对称轴与x轴两交点的距离和另一坐标，或已知抛物线的对称轴与x轴的一个交点和另一点坐标，应该采取交点式或顶点式求解，同时必须充分利用抛物线的对称轴。

例3 已知抛物线经过点A（1，0）、B（0,-3），且对称轴是直线x=2，求此抛物线的解析式。

分析：此题也是一种常见的求二次函数解析式的题型，方法有多种，我们可以分三种方法加以讨论。

解法一：根据题意，设函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），列出方程组，求出a，b，c，从而求出其解析式，这是常用方法：

∴二次函数解析式为y= -x2+4x-3。

解法二：可设所求函数为y=a（x-2）2+n（a≠0），由已知条件可列出关于a、n的方程组，求出a、n，从而求出二次函数的解析式。

∴y=-（x-2）2+1，即 y=-x2+4x-3。

解法三：根据题意，可以求出点A（1，0）关于直线x=2的对称点的坐标是（3，0），然后用交点式y=a（x-x1）（x-x2）求其解析式：设y=a（x-1）（x-3），将B（0，-3）代入得：

-3=a（0-1）（0-3），3a=-3，a=-1，

∴y= -（x-1）（x-3），即y= -x2+4x-3。

例4 已知抛物线的对称轴是x=-1，它与x轴的两个交点间的距离是4，与y轴的交点是（0，-3），求此二次函数的解析式。

分析：此题是求二次函数解析式中较常见的题目，要让学生去讨论比较。

解法一：根据题意和抛物线的对称性可知，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-3，0），因为抛物线与y轴的交点是（0，-3），所以可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，可得：

∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3。

解法二：根据已知条件和抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的两个交点是（1，0）和（-3，0），所以可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+3），即y=ax2+2ax-3a，

∵抛物线与y轴交于点（0，-3），∴-3a=-3，∴a=1，

∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3。

通过以上几个例子，我想学生就不会感到二次函数解析式的求法有什么难的。激发他们的学习兴趣，提高学生的学习能力。