行列式的计算

摘 要：行列式有着重要的应用，在求解方程组、讨论矩阵的特征值、数值分析等领域应用广泛，因此掌握好行列式的相关计算技巧就很重要。因此本文从几种特殊的行列式出发，总结出计算的技巧。

关键词：行列式；技巧；计算

人们在方程组求解的研究过程中，发现了行列式这个有用的工具，因此这个概念应运而生。行列式作为线性代数和高等代数中的重要概念之一，在很多数学分支学科以及理工科和工程技术中有着广泛的应用，因此本文从计算的技巧方面进行研究行列式，方便初学者学习和掌握。

一、 行列式的性质

行列式DT是由行列式D的行与列对应互换所得到，称行列式DT为行列式D的转置行列式。

性质1 行列式与它的转置行列式相等，即D=DT。

性质2 任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号。

推論 行列式中有两行（或两列）元素对应相同，则此行列式为零。

推论1 行列式中的某行（或某列）的所有元素有公因子k，则这个k可以提到行列式记号外。

推论2 行列式中某行（或等列）的元素全为零，则行列式的值为零。

性质4 行列式中有两行（或两列）对应元素成比例，则此行列式为零。

性质5 若行列式中某行（或列）的元素都是两个数之和，则D等于下列两个行列式之和。

利用性质5和性质4，又可得到下列性质。

性质6 行列式中某行（或列）的元素k倍加到另一行对应元素上，此行列式的值不变。

注：利用性质6将行列式化成上三角行列式是计算行列式的有效方法。

二、 行列式方法总结

（一） 利用行列式的定义计算

这种方法只适用于一些特殊行列式或者大多数元素为零的行列式的计算。

（二） 利用行列式的性质计算

利用行列式的性质将行列式转化为上（下）三角形行列式来计算，这是计算行列式最常用的方法。

（三） 利用行列式展开定理来计算

利用按行（列）展开公式将高阶行列式转化为低阶行列式来计算，该方法适用于大多数元素为零的行列式的计算。

（四） 利用递推关系来计算

利用行列式的性质或展开公式找出递推关系来进行计算，该方法一般适用于高阶且元素有规律的行列式的计算。

（五） 利用升阶法（或加边法）计算

在行列式的值不变的情况下，加上特殊一行和一列，再利用行列式的性质化简计算。

（六） 利用分解之积法计算

四、 结论

通过以上的两个例子我们可以看出求解行列式也并不是非常困难的事情，只要掌握好行列式的性质和推论以及几大类典型的行列式的计算技巧，那么行列式的求解就变得相当的简单。在后续求解方程组或者特征值、二次型的学习过程中就不会有多大问题。希望本文对初学者和其他研究行列式的学者有一定的帮助，仅供大家参考。

参考文献：

[1]同济大学数学系.工程数学线性代数[M].5版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].2版.北京：高等教育出版社，1998.

[3]卢刚.线性代数[M].北京：科学出版社，2006.

[4]王利东.从应用实例出发的线性代数教学模式的探讨[J].数学教育学报，2012（03）.

[5]李尚志.线性代数精彩应用案例[J].大学数学，2006（03）.

作者简介：

陈康，四川省成都市，西南交通大学希望学院。