“三位数乘两位数”教学研究报告

一、问题

“三位数乘两位数”是人教版数学教材四年级上册第四单元的内容，是在学生掌握了两位数乘两位数的笔算基础上进行教学的。至此，小学阶段的整数乘法全部完成。长期以来，以确保计算结果的准确无误及提高计算速度为目的的计算操练成了教学的常态，使得计算课常常陷入思维层次的水平移动甚至是从高级到低级的过程当中。对于数运算的重要性，教师们的认识不尽相同。部分教师认为，在有了计算器之后，我们不必把计算看得过重；也有一些教师认为，数运算非常重要，原因是教材上编得多，所以应该教得多，做得多，考得多。总之，教学现实中存在诸多问题。

一是孤立地对待教学内容。首先，不考虑这节课的学习基础与后续，尽管课堂看上去内容丰满、层次清晰，但深谙教材体系的教师心里总会觉得纳闷：这节课到底与两位数乘两位数在目标上有何区别？其次，估算、口算、笔算、简算之间是完全割裂的，学习笔算，那就只管竖式如何写，怎样写方便。

二是以操练代替新授。教师在教学时通常按照教材的顺序逐一呈现例题，然后给予一定数量的练习。这样教学难免导致学生会的早会了，不会的依然如故。一些教师的补救措施往往很奏效：揪出易错题一一过关，将易错点集中起来以考代练。但这種做法导致很多学生以为数学就是算算算，枯燥乏味，令人生厌。

三是老师（教材）牵着学生走。最开始，老师让学生算“一个七、两个七、三个七……相加”，大部分学生学会了“7的乘法口诀”。后来，老师又要学生“帮美羊羊算一算大约有多少元”，学生们知道了一种叫“估算”的玩意儿。再后来，老师又不断地追问学生：“还有没有不一样的方法，还有没有更简便的方法？”学生们总是能呈现出满满一黑板的算法。要学习三位数乘两位数了，没关系，老师直接出示一个情境，学生动笔算一算、动脑估一估、用计算器验一验，先学不含0的，接着学末尾有0的，再学中间有0的。学了三位数乘两位数，还有两位数乘三位数……但是，数运算教学除了教会学生计算之外，我们的孩子什么时候能站在“森林”中看看眼前的这棵“树”———关于整数乘法，我们都学了哪些？还要学些什么？

具体到这节课，怎样变孤立为整体？如何走出机械操练的怪圈，让我们能站得更高、看得更远？为此，我们数学组针对笔算课上如何有效沟通估算、口算、笔算、简算之间的联系，有效预防计算错误，找到这节课的生长点，发挥数运算课的育人价值进行了思考与实践，力求站在一个更高的位置，以整体或长段的思维去引领学生看见“过去”和“远方”。

二、实践

我们数学组坚持“1233导探”活力课堂模式，对这节课进行了实践性研究。

1.开放导入，在整体认识的基础上聚焦三位数乘两位数的学习。

活动设计：从4、5、15、21、144中任选两个数写出乘法算式，并按因数的位数分类，想想哪些是你会算的，分别怎么算。

片段呈现

师：请一个学生将所有的乘法算式有序列出。

生1：4×5、4×15、4×21、4×144、5×15、5×21、5×144、15×21、15×144、21×144。

师：按因数的位数来分，可以分为哪几类？

生2：可以分为5类，A类：4×5；B类：4×15、4×21、5×15、5×21；C类：15×21；D类：4×144、5×144；E类：15×144、21×144。

师：有哪些乘法是我们已经学过的？

生：一位数乘一位数，两位数乘一位数，三位数乘一位数，两位数乘两位数，我们都学过。

师：今天我们来研究三位数乘两位数。

……

师：大家觉得我们今后还要学四位数乘三位数……吗？

设计意图：回忆整数乘法的类型，为新知学习提供资源。

2.核心推进之一：基于经验，自主迁移，沟通联系，探究算理结构。

活动设计：15×144你会算吗？能不能用以前学到的本领来帮助计算？

片段呈现

师：（学生独立计算后）大家会算吗？请两个同学把你们的想法写在黑板上。如果你的算法与他的相同，则静心看他板演的对不对；如果不同，看能否看懂他的算法；有不一样的算法，可以补充到黑板上。

资源呈现：第一种：10×144=1440，5×144=720，1440+720=2160。

生3：第五种和第六种算法一看就是错的。因为144×10=1440，可以肯定144×15的积比1000大多了。这两个结果都小于1000，所以是错的！

师：你能用先估后算再比较的方法估计出积的范围，避免了低级错误，了不起！知道这两种算法肯定错了，我们能否知道他到底错在哪儿呢？

生4：第五种竖式的第二层写错了。144×1其实算的是144×10，所以数位应该向左整体移动一位。

师：你的意思和第二种算法是一样的。大家明白了吗？那再和同桌说说，第六种算法错在哪儿？为什么？

生5：144中的1表示的是100，所以第三层竖式应该算的是15×100，同样应该像第四种算法一样。

师：错了的，我们能找到错误的原因。那么，正确的，我们能否也来分析一下它们之间有什么联系？

生6：第一种横式计算和第二种竖式计算其实是一回事。（师随着学生的汇报，补充板演，如下所示）

师：是这么回事吗？你这么一说，沟通了横式和竖式之间的联系，讲得真明白。第四种算法如果也对应一种横式的话，是怎么样的呢？（随着学生的汇报，补充板演，如下所示）第二种和第四种算法都是列竖式算的，你更喜欢哪一种？为什么？endprint

师：那么第二种、第四种算法以及古代欧洲的算法有什么共同的特点呢？

生9：都是先想每一步乘的是几个几，再一步一步地乘，然后相加。

师：我明白你的意思了，你指的是，整数乘法计算中，都是根据乘法的意义确定该算什么，然后按一定的顺序进行计算。以前学的两位数乘两位数是这样的吗？这道题是这样，如果换两个整数相乘，还是这样吗？

生：也是这样。

师：太了不起了！不但知道怎样算，还知道为什么这样算，知其然且知其所以然。

设计意图：激活经验，促进迁移。呈现学生资源后（有利用乘法意义进行分拆求和的，有列竖式笔算的，还有一些错误的），首先有意捕捉（或设计）典型的差错资源，制造认知冲突，巩固“先估后算再比较”的运算习惯。接着运用比较策略，横向比较正确的资源，让学生发现横式和竖式之间的联系，组织学生比较三位数乘两位数与两位数乘三位数在计算方法上的联系，构建笔算模型。

3.核心推进之二：从一般到特殊，整体构建笔算模型。

活动设计：用笔算的方法计算375×24，108×32，150×30与325×27，32×108，150×60。学生分成男女生两组分别计算。

操作流程：学生独立计算，呈现资源，然后选择典型资源进行交流讨论。

设计意图：题目的设计从一般到特殊。在学生独立完成后，首先重点呈现108×32和32×108这一组题的学生资源（有错误的，正确的有用两位数乘三位数的，也有用三位数乘两位数的，但都只要算两步），沟通三位数乘两位数与两位数乘两位数之间的联系，归纳乘法的笔算法则。然后呈现150×30和150×60这一组题的学生资源，引导学生根据积的变化规律掌握简便的竖式算法，沟通口算和笔算。同时引导学生关注两个积的特点———具有两倍关系，渗透灵活比较的意识，让学生增强数感，也为下一个活动提供资源。

4.核心推进之三：沟通口算、笔算、估算、简算之间的联系，灵活选择算法。

师：这种算法你看懂了吗？快速反应350×14，103×29。

操作流程：呈现学生资源：笔算103×29时，学生的算法有：103×20+103×9、103×30-103、100×29+3×29。对照这些算法，看是否能看懂，并要求学生根据数字特点选择合适的算法计算：250×12、420×50、125×32、19×350、464×17。

设计意图：在前一个活动的基础上，设计一些更具特殊性的三位数乘两位数，并通过读懂两种算法，让学生从意义上理解和区分两种算法，沟通口算、笔算、估算、简算之间的联系，灵活选择算法进行计算。

三、讨论

1.关于情境对数运算的桥梁作用。

枯燥的算理、抽象的算法、机械的训练，现实中的计算教学大都给人这样的感觉。于是，大多数教师教学时都会赋予运算以情境中的现实意义。事实上，在计算39×102时，人们看到的只是一个抽象的算式，很难马上从乘法意义的角度计算其结果，尤其是当学生已经接触了一些算法，碰到未知的，往往不会退回到乘法意义的角度去思考，而是草率地認为“没学过，不会”。如果在一个情境中，赋予这两个数以量的意义，比如，一套书102元，买39套需要多少元？有了具体情境的桥梁作用，赋予抽象的算式以现实的意义，能帮助学生理解算理。而本节课并未从这个角度去设计，如何兼得？值得探索。

2.关于数运算教学长段的规划设计。

或许有人会质疑三位数乘两位数这一课如何能做到如此大容量、高密度。其实，这是因为这节内容是小学阶段整数乘法运算的最后一节课，列竖式、数位对齐、简算、横式与竖式的沟通等都是以前的目标，本节课中只需巩固，而竖式和竖式的沟通、中间有0的乘法与两位数乘两位数乘法间的沟通，以及灵活选择算法才是本节课的目标。小学阶段数运算教学结构关联的递进性显而易见，但在每一部分里要实现哪些目标，必须要有一个整体的规划，以数运算中的乘法运算为例：

“表内乘法”的目标是：转化连加，用规律求积，用乘法的意义分拆转化，表内乘除法的熟练化。

“用一位数乘”的目标是：用转化分拆，强化横式和竖式之间的沟通，简算的渗透（分拆成和、差、积的简算）。

“两位数乘两位数”的目标是：尝试竖式迁移，强调数位对齐，巩固简算的经验。

“两位数乘三位数”的目标是：竖式和竖式的沟通，中间有0的乘法与两位数乘两位数乘法间的沟通，灵活选择算法。

笔者所在的学校目前正在进行以挖掘学科课程核心育人价值为目的的“种子课程”研究。研究中，我们发现，任何一门学科或者是某一门学科的一个特定内容涵盖的素养目标并不是单一的。因此，哪怕是数运算教学，除了有关运算的知识目标之外，从更高的视野看，它还是帮助学生形成结构化思维的重要载体。事实上，笔算过程通常由三个步骤组成：运算顺序（从哪一位算起）、分步运算结果的定位、形成最终结果。如果能在某个阶段就帮助学生建立这个过程结构，那么在后一个阶段，学生应用这个结构去主动探究一些新的运算就变得可能。否则，所谓的探究，很多时候只是部分优秀学生提前学习后的转述罢了。另外，数运算教学内容对学生勤于思考、善于研究的思维习惯的启蒙也能起到载体作用。因而，我们不能把学生当成计算的机器，而应努力关注数运算教学中的育人价值，发挥其培育核心素养的“种子”作用。特别需要强调的是，这个目标绝不能只是停留在教学目标中的一条文字，也不能想到哪里是哪里，而是需要有一个长段的规划设计，更需要落实到具体的教学环节当中。

现阶段，栗雨小学也正在做基于核心素养的课程研究。数学家和数学教育家们给数学定了很多有数学味的核心素养，笔者认为都有道理。而要在这些核心中再找一个内核，笔者认为是举一反三、反三归一。这是数运算课型不可绕过的目标，也是“种子课程”研究的起点。

【本文系湖南省教育学会“十三五”立项课题“基于核心素养的‘种子课程开发与应用研究”（编号：B-53）研究成果】

（执笔：何亩文、徐旺、李闯）endprint