培养学生数学几何推理证明能力摭探

傅创华

摘 要：平面几何教学是为了研究平面图形的性质，培养学生的推理证明能力，这也是平面几何教学的难点，只有突破这个教学难点，才能防止学生的学习能力和数学水平进一步分化，从而不断提升数学教学质量。文章对如何培养学生的数学几何推理证明能力进行探讨，认为要顺应学生的身心特点进行教学，要讲清几何概念和性质，要重视培养学生的基本推理技能，要详细讲解数学定理推导过程。

关键词：初中数学；几何；推理证明；能力培养

中图分类号：G421；G633.63 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2017）29-0042-02

平面几何一直是公认的最有利于培养学生推理能力的教学内容，人教版的“几何证明初步”这个章节就是在介绍平行线、平面图形和全等三角形等内容的基础上编制的，学生在学习这些内容的时候，主要是通过观察、实践操作、猜测、类比和归纳等步骤完成学习，能够掌握一些有关平面图形的概念、定理和判定方法，初步具备作图和识图的能力，并能够通过观察图形进行推理证明，这也说明学生已经具备了学习几何推理的基础。本文对如何培养学生数学几何推理证明能力进行探讨。

一、顺应学生的身心特点进行教学

初中生处于童年向少年转型的阶段，身心在发生巨大的变化，教育心理学称这个阶段是学生向各个方面发展的危机年龄，也是危险期。初中生一般都是朝气蓬勃、活泼热情，对很多事物充满了新鲜感，但是他们的自控力和独立性都比较差，情绪也不稳定，很难将注意力集中在同一件事上，容易产生两极分化，所以教师一定要顺应学生的身心特点开展教学。首先要精心设计教学过程，因为学生的注意力容易分散，所以教师单人讲解的时间不宜过长。一般来说，纯理论的讲解占据一半的课堂时间就可以，然后让学生自己讨论，之后做课后练习。课后练习的形式要注意变换，有时可以是口算，有时可以是笔算，还可以随机抽选学生去黑板上演算，让学生有表现自己的机会。在评价学生的表现时要以鼓励为主，增强学生的自信心，从而激发出更多的学习动力。其次要重视开发学生的非智力因素。学生的学习意志、热情和态度对于学习几何推理非常重要。刚开始教授几何课程时，教师可以先为学生讲述学习几何的重要性，列举一些中外数学家为人类和社会做出的贡献，还可以讲一些和几何有关的小故事，增强学生对几何学习的兴趣，鼓励他们积极进取。最后要选择合理的教学方式，让学生成为教学主体。课堂教学是教师和学生双方的活动，所以教师要想办法让学生主动学习。教师不但要使用多样化的教学方法，还要根据不同内容选择不同的教学方法，譬如公式和定理这部分内容比较适合采用“发现法”开展教学，以适应学生好奇的心理特点；在讲数学概念的时候要采用“讲解——讨论——练习”模式进行教学；开放式的、需要探究的问题要采用合作学习的方式，要通过多种教学方式的变换，让学生真正成为学习的主体。

二、讲清几何概念和性质

概念是构成几何推理的基本要素，在平面几何教学中，教师应该教导学生掌握几何概念和性质，并逐步做到四会：会描述、会作图、会表示和会应用。要想让学生掌握这四点，首先要让他们读懂几何语言，对于一些比较难懂的词语要进行重点解释。例如这条定理：有且只有一条直线同时经过两个点，这句话的重点在于“有且只有”，但教师要逐字逐句地分析这句话，从而帮助学生完整地理解这句话。“有一条直线”表明存在性，“有且只有”表明唯一性，这是几何常用的语言形式，要让学生引起重视，从而让他们意识到几何语言的严谨性。其次要注意概念的外延，要通过新旧概念、近似概念和从属概念的比较让学生形成完整的、精确的数学概念。例如在讲解“三角形中位线”这个概念的时候，最重要的是要让学生明白三角形中位线的定义，三角形中位线就是连接三角形两条边的中点的一条线段；然后再把它和三角形中线进行比较分析，让学生明白两者的区别主要在于端点位置的不同；接着随便画出一个三角形，让学生画出它的中位线，于是得出任意三角形都有中位线的结论；最后教师画出多个三角形，要求学生逐个画出它们的中位线，再结合图形写出数学形式——△ABC。在具体的运用过程中，教师要叮嘱学生注意中线和中位线的差别，虽然只有一字之差，但是得出的解题过程和结论是截然不同的，学生很有可能会因为马虎大意而丢分，所以教师要注意强化学生的认真审题意识。

三、重视培养学生的基本推理技能

在教学过程中，首先要让学生了解学习几何证明的意义和要求。在进行推理论证的时候，要注意满足客观实际的要求。论证要充分有说服力，不能凭借主观臆想去解题，每一步推理证明的依据都只能是题目已经给出的，或者根据有关定理和公式可以推出来的已经存在的定理，也就是说几何证明得出的结论一定是要有充分论据的，然后再通过缜密的思维进行逻辑推理，最后得出可靠的结论。其次是培养学生的逻辑推理能力。几何证明的命题非常复杂，而且有很多种类型。要想培养学生的逻辑推理能力，可以教会学生几个常用的分析推理方法。第一种，综合法：就是从已知条件出发进行推理，然后逐步推出结论，这是一种定向思维方式。第二种，反证法：就是先假设命题是错的，然后推出和已知条件或定理相反的结果，从而证明该结论是成立的。反证法是一种间接的证明方式，它的主要依据是排中律，也就是说两个互相矛盾的结论一定有一个是真的，一个是假的。用反证法进行推理证明的步骤一般包括这三步：第一步是假设给定的结论是不成立的；第二步是将假设作为出发点，运用正确的推理方法得出和已知条件或者已有定理相矛盾的结论；第三步是判定假设的命题为假命题，从而得出题目给出的结论是正确的。最后是添加辅助线，要让学生知道在几何证明中恰当使用辅助线，可以让推理证明变得更加简单。但是辅助线也不是随意添加的，而是需要有一定依据和目的，主要是为推出结论提供服务，是已知条件通向结论的桥梁。

四、详细讲解数学定理推导过程

定理是平面几何的核心内容，也是进行逻辑推理的根据。一个定理通常都是由一道例题来呈现的，学生必须要掌握它的证明过程。教师在教学过程中也要充分重视，一定要把定理内容剖析透彻，还要要求学生记住定理的内容，并掌握推导过程和方法。在推导定理时，最关键的是要启发学生结合已知条件和图形进行分析，然后通过观察、推理和归纳得出结论。完成定理证明环节以后，教师要对整个过程进行总结，让学生了解在推导过程中运用了哪些知识点，主要的证明思路是什么，是否存在其他证明方法，最后要让他们知道这个定理的适用范围和使用方法。例如，在讲解“三角形中位线定理”时，首先教师要把原本的定理内容改成如果某条线是三角形的中位线，那么它就会和第三边平行，而且长度是第三边的二分之一。然后结合图形寫出已知条件和需要求证的内容，引导学生分析定理结论主要包括两个：中位线和第三边是平行的位置关系，中位线的长度等于第三边的一半。接着再启发学生考虑数量关系，要想证明一条线段的长度是另一条线段的一半，通常都会采用画辅助线的方式，于是学生就知道用加倍法画出辅助线，继而画出分析图，最后顺利地写出证明过程。教师讲解推导过程以后，学生已经对定理有了充分的理解，教师就可以让他们做几道例题，使其学会活学活用，最后总结出以下几个结论：第一，三角形的中位线性质与平行线等分线段定理是存在很多的区别的，如果只知道三角形两边的中点就要用三角形中位线定理，如果题目告知三角形某条边的中点且平行于另一边的直线，就可以使用平分线等分线段定理。第二，如果出现两个以上的中点，一般选用三角形中位线定理，图形小的可通过画辅助线来补全图形，然后再进行推理证明。

五、结束语

总而言之，培养学生的几何推理证明能力需要教师进行科学的指导，详细地讲解有关概念和定理，为学生打好理论基础，从而使其能够顺利地进行逻辑推理，逐步实现由知识转变为能力的过程，促使学生的学习能力和学习效率不断提升。

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