借助直观表征优化计算算理教学

姜文富

摘 要：计算教学是小学数学教学的重要组成部分。理解算理和建构算法是计算教学的核心。教学中，教师可以引导学生借助“操作表征”“圖像表征”和“符号表征”，优化算理教学，促进学生理解算理、掌握算法，让学生抵达理法融通的计算之境。

关键词：几何直观；计算算理；计算教学

计算教学是小学数学教学的重头戏，是最基本的数学学习技能。计算教学倡导算理的探索和算法的建构已经成为教学研究的共识。受制于学生的年龄特征和心理特征，在计算教学中，教师必须给学生提供算理理解的“脚手架”，让学生通过直观动作、直观图形、直观符号等多样化的“直观表征”，优化计算算理的教学，引导学生主动建构算法。

一、借助“操作表征”，优化算理教学

在计算教学中，算法是抽象的，而算理却应当直观。对于学生的计算来说，算法解决的是“怎样计算”的问题，算理解决的是“为什么这样计算”的问题。算理是算法的道理、依据，而算法则是算理的抽象化提升、形式化发展。由于小学生的数学思维处于从直观动作思维向具体形象思维的过渡，因此在计算教学中，教师可以借助学生的“操作”，如各种实物、各种模拟物等，尤其像小棒、圆片、计数器等具有“齐性”的学具，引导学生展开算理的探究、算法的建构。

例如教学苏教版小学数学教材第2册的《十几减9》，这是学生在一年级第一学期学习了“20以内进位加法”之后的数学学习活动，由于学生已经有了“9加几”“8加几”等的数学学习活动经验，因此在教学中，教师完全可以放手让学生展开主动探究。教材出示的主题图是：桌面上有一盒桃子（10个）和3个桃子，小猴要买9个桃子，还剩多少个桃子？通过主题图，学生直观地发现，这是一个属于“去一去”“拿一拿”的数学问题，他们很快列出算式“13-9”。接着，有学生借助数数经验，即从13个桃子里一个一个地去掉，找寻计算答案。显然，这不是一个好的计算方法。由此，笔者首先和学生复习了“20以内进位加法”中的“凑十法”，激活学生的数学知识经验。然后让学生展开小组交流、讨论，有学生认为，由于零头（3个）不够减，所以可以先从一盒里减去9个桃；有学生认为，可以先将零头去掉，也就是说先给小猴3个桃，再从盒子里面拿出6个桃就行了。在学生讨论的基础上，笔者让学生运用小棒展开物质化的活动操作。经过学生的多次操作，他们在“凑十法”的基础之上建构了“平十法”“破十法”的计算模型。这种活动化的经验对学生今后的数学学习将产生深远的影响，能够逐步让学生形成简便运算的意识。

通过操作化表征，学生的“算理理解”与“算法建构”有机结合。直观操作是学生表象操作的泉源，当学生在计算中遭遇障碍、困难时，教师可以引导学生在头脑中进行表象操作，然后逐步抽象，将表象压缩、内隐，不断提升学生形式化的思维水平。如此，学生既能理解算理，又能掌握算法、运用算法。

二、借助“图像表征”，优化算理教学

如上所述，计算的法则（算法）是抽象的、理性的，而学生的思维是感性的、具体的、直观的。教学中，教师要将抽象的算法建构与直观、具体的算理理解结合起来，只有这样，计算教学才能融入学生的血脉之中。教师要改变过去那种对算法的死记硬背、对计算技能机械训练的教学方式，充分借助学生的经验，以直观操作、直观图形、具体表象等为支撑，优化算理教学。

例如《乘法分配律》（苏教版小学数学教材第8册）一课，教材运用的是主题图，其图意是：四年级有6个班，五年级有4个班，每个班领24根跳绳，四五年级一共需要多少根跳绳？在引导学生探究算法时，笔者发现，许多教师都能让学生从主题图中的数量关系出发，从解决问题的思维方法出发，形成不同的解题思路，进而列出等式，形成乘法分配律的数学猜想。接着，通过举例验证，从特殊到一般，引导学生建构乘法分配律的运算模型。但在运用时，学生的错误却屡见不鲜。显然，尽管学生通过数量关系建构了算法，但学生对算法本身并没有理解和掌握。算法对学生来说，还是外在的形式化的东西。对此，许多教师都很纳闷，因为学生确实是实实在在地经历了乘法分配律算法的建构过程的。其实，从乘法分配律的模型建构过程来说，教师借助学生的生活经验，能够助推学生的理解，增进学生对分配律的体认。但学生对乘法分配律的形式掌握得不够深刻，这是导致学生不会运用乘法分配律的根本原因所在。笔者教学这部分内容时，在学生形成了乘法分配律的数学猜想后，用a和b分别表示两个长方形的长，用c表示长方形的宽（如图1），让学生用图形表征“乘法分配律”。

从图中学生直观地发现，左边长方形的面积是a×c，右边长方形的面积是b×c，整个大长方形的面积是a×c+b×c。有了直观图形作为学生理解算法的心理支撑，学生对乘法分配律的形式就能够在心中建立图形表象。当学生在计算中出现思维断裂、短路时，他们可以借助头脑中的图形表象，自主解决问题。

从图形表征到心理图像的建立，从直观的算理到抽象的算法，学生主动地展开数学反思。通过反思，学生能够逐渐摆脱图形表征、心理表象，让图形的支撑慢慢隐退，形成抽象化、形式化的算法模型，在不断运用中实现算法与算理的深层沟通。

三、借助“符号表征”，优化算理教学

美国著名教育家布鲁纳认为，儿童的数学学习一般要经历三个阶段：操作性表征、具体形象性表征和抽象符号性表征。在计算教学中，在通过学生的动手操作、生活经验、构建图形等一系列探索活动后，教师有必要让学生创造符号，将算理和算法进行融通。只有当学生的思维不再依赖具体的模型、心理图像，而是以符号作为思维活动的材料，形成了以符号作为普遍性的算法后，学生的计算思维才真正得到了提升和发展。

例如教学《加法交换律》（苏教版小学数学教材第8册），当学生通过教材主题图，根据数量之间的相等关系列出算式，提出猜想（注：苏教版教材《运算律》都采用了“猜想——验证”式的教学）并进行验证后，笔者让学生概括“加法交换律”，学生运用各种符号表征：如文字符号表征——甲+乙=乙+甲；图形符号表征——△+☆=☆+△；数学符号表征——a+b=b+a……符号表征的多样化，正说明学生对算法已经拥有了自己的理解。当学生形成了加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律的符号表征后，笔者有意识地引导学生分类，借助符号进行比较、思考。有学生认为运算律可以分为两类，加法的和乘法的；有学生认为运算律可以分为三类，交换律、结合律和分配律。接着，笔者让学生结合运算律的运用实践，观察这些符号化的运算律，概括出各自的特质。学生对符号化表征的运算律展开了深入观察，他们发现，交换律的特质是数字顺序变化了，计算结果不变；结合律的特质是计算顺序变化了，计算结果不变；分配律的特质是计算方法变化了，计算结果不变。在符号化算式的比较、思考中，学生认为简便运算简便但不简单，在计算时计算结果保持不变这一特点可以用来判定简便计算正确与否。借助符号化的运算律表征，学生对运算律的认识和实践走向睿智和深刻。

符号语言是数学学科的基本语言，具有抽象性、形式性、简洁性、通用性等特性。借助符号化的语言，可以引导学生对计算中的算法展开深度思考，明晰算法的运用特质、运用规律、运用阈限等。符号化的表征、观察与思考是培养学生逻辑思维、符号思维，开发学生创造潜能的有效方法。

直观的算理与抽象的算法之间存在一定的矛盾。教学中，教师要根据学生的年龄和心理特征，以及计算算法的特点，选用合适的表征方式，引导学生理解算理、掌握算法，让学生循“理”入“法”，以“理”驭“法，促成学生算理、算法的融合、融通，同步提升学生的综合能力。在这个过程中，教师对于学生多元化的算理表征，既要尊重又要善于引导，为学生的算法建构和数学化思维发展提供有益支撑。endprint