浅析图形的变换问题

黄锦鸿

摘 要：图形的变换是初中数学教材的一个重要内容，变换问题是各地中考命题的一大热点。通过运动变换改变图形位置后重新组合，然后作为全等或相似变换，需要在新旧图形之间找到其中的变量和不变量，从而在新图形中分析出有关图形间的关系，进而揭示条件与结论间的内在联系，找到解题途径。

关键词：图形；变换；应用

随着新课程标准的实施，图形的运动变换的基本理念对近几年中考数学命题的导向也产生了重大的影响，并已成为近年中考命题的一大热点。新课程标准下的初中数学教材在图形的全等的基础上，增加了图形变换的内容，使知识更符合它的形成规律，使数学更贴近学生的生活实际。

除点的移动以外，图形的基本变换形式主要有四种：平移、翻折（即为轴对称问题）、旋转（当旋转角为180度时，即为中心对称问题）和位似。图形的变换前后对应线段和对应角的位置和数量关系对问题的解决起关键性的作用。运动变化问题正是利用它们变化图形的位置，引起条件或结论的改变，或者把分散的条件集中，以利于解题。这类问题注重培养学生用动态的观点去看待问题，有利于学生空间想象能力和动手操作能力的锻炼，解题的关键在于如何“静中取动”或“动中求静”。

图形的变换问题在中考命题中，已与函数、三角形、四边形、相似图形及平面坐标等内容结合，以新颖的形式出现。通过平移、翻折、旋转位似图形的识别和构造考查学生对概念的理解，通过图形的操作、思考等活动考查学生对本质的理解，通过具体问题的解决考查学生图形变换观念和知识的综合运用能力以及思维的灵活性。这类问题的特点是：结论开放，注重考查学生的猜想、探究能力；便于与其他知识相联系，解题灵活多变，能够考查学生分析问题和解决问题的能力；其中蕴含的数学思想和方法丰富，有数形结合、方程思想、数学建模、函数思想、分类讨论等数学思想方法。

下面结合实例针对这四种图形的变换问题的解法谈谈自己粗浅的认识：

一、 平移问题

一个图形沿着一定的方向由一个位置平行移动到另一个位置的运动叫做图形的平移。图形的平移由平移的方向和距离决定。

例1 如图，将周长为10个单位的△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）

A. 12 B. 14

C. 16D. 18

分析：根据平移的性质，易知AD=CF=2，DF=AC，从而有BF=BC+CF=BC+2；由题意得AB+BC+AC=10，所以有四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=2+AB+BC+2+AC=14。

点评：抓住平移的前后对应点连线的长度就是平移的距离，对应线段相等这两个知识点就是解答本题的关键。

例2 在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+（k-5）x-（k+4）的图象交x轴于点A（x1，0），点B（x2，0），且（x1+1）（x2+1）=-8。（1）求二次函数的关系式；（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移两个单位，设平移后的图象与y轴交于点C，顶点为P，求△POC的面积。

分析：由根与系数的关系易求得k的值，通过配方使之成为顶点式。根据平移的变化规律：顶点改变（“左加右减，上加下减”），开口不变，易得平移后的顶点及函数关系式。

点评：抛物线的运动变换问题只需抓住顶点和开口方向两个要素的变化规律即可。

二、 翻折问题

把一个图形沿着某一条直线翻折后所形成的新的图形的变化叫做图形的翻折。翻折前后两个图形是全等的。

例3 如上图，把矩形ABCD沿对角线AC折叠，如果AB=4，BC=8，求重叠部分的面积。

分析：如图，设CE=x，由AD∥BC可得∠DAC=∠ACE，而∠CAE=∠DAC，从而∠CAE=∠ACE，则AE=CE=x，由AB2+BE2=AE2，得42+（8-x）2=x2，即求得x的值，代入S△ACE=12DC·CE中即可获得重叠部分的面积。

点评：利用方程的思想解决有关的几何问题是一种常用方法。

例4 在矩形ABCD中，AD>AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连接CN。若△CDN的面积与△CMN的面积比为1∶4，则MNBM的值为（ ）

A. 2B. 4

C. 25

D. 26

分析：本题的考点有翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。如下图，过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1∶4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN∶CM=1∶4，然后设DN=x，由勾股定理可求得MN的长，从而求得答案。

例5 在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30°，CD是AB边的中线，若将△ABC沿CD对折起来，折叠后两个小△ACD与△BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的14，有如下结论：

（1） AC边的长可以等于a；

（2） 折叠前的△ABC的面积可以等于32a2；

（3） 折叠后，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等。

其中，正确的结论的个数是（ ）

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

分析：將△ABC沿CD对折，对折后的A点可能有两种情况：

（1） A与A′在直线BC的同侧。

设想，A′C与BD交于O点，S△COD=S△BOC=S△A′OD，则OD=OB=12a，OA′=OC，则四边形A′BCD为平行四边形，A′B∥CD且A′B=CD，△ACD与△A′CD可以重合，则可知∠A=∠DA′C=30°，A′D=AD=a，在△A′OD中，∠DA′C=30°，A′D=a，则可知D到A′C的距离应为12a，而OD=12a，则可知DO⊥A′C，endprint

而四边形A′BCD为平行四边形，则可证得A′BCD为菱形，则AC=3a，

S△ABC=12AB·OC=12·2a·32a=32a2。

（2） A与A′在直线BC的两侧。

如右图，△ACD沿CD对折后与△A′CD重合，则AD=A′D=a，据第一种情况，同理可证四边形A′BDC为平行四边形，则A′B∥CD且A′B=CD，DB∥A′C且DB=A′C，则AC=A′C=a。

点评：翻折问题实际上是轴对称问题的应用，解题的关键是抓住对称的性质：（1） 关于一条直线对称的两个图形全等；（2） 对称轴是对应点连线的垂直平分线。

三、 旋转问题

一个图形围绕某一点由一个位置旋转到另一个位置的运动叫做图形的旋转，图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于旋转角。

例6 设想，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于點H，那么DH的长为多少？

分析：连接CH，由旋转角∠BCF=30°，可得∠FCD=60°，根据HL公理易证Rt△DCH≌Rt△FCH，则∠DCH=12∠FCD=30°，于是有DH=CD·tan30°=3。

例7 如下图，在平面直角坐标系中，点A（3，1）、B（2，0）、O（0，0），反比例函数y=kx图象经过点A。

（1） 求k的值；

（2） 将△AOB绕点O逆时针旋转60°，得到△COD，其中点A与点C对应，试判断点D是否在该反比例函数的图像上。

分析：易得k=xy=3×1=3。过点D作DE⊥x轴于点E，构造直角三角形。由旋转角∠BOD=60°，OD=OB=2，根据三角函数知识易得DE=OE·sin60°=2×32=3，OE=OD·cos60°=2×12=1，从而有点D（1，3），于是问题也就迎刃而解。

点评：当图形作旋转时，抓住旋转角对问题的解决起决定性的作用。

例8 在等腰直角三角形△ABC中，∠ACB=90°，MN为斜边AB上两点，如果∠MCN=45°，求证AM、MN、NB可以构成一个直角三角形。

分析：将△CNB绕点C顺时针旋转90°到△CN1A的位置，于是有N1A=NB，CN1=CN，∠N1CA=∠NCB，∠N1AC=∠B，则△N1CM≌△NCM，从而MN1=MN，而∠N1AM=∠CAM+∠B=90°，故而AM、MN、NB可以构成一个直角三角形。

点评：在解决平面几何问题的过程中，经常设法将一个图形绕某点旋转一个角度，通过这种图形的旋转达到使问题条件相对集中的目的，从而使问题获解。

总结：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。位似是一种重要的图形变换方式，利用位似变换可以将一个图形进行放大或缩小。位似图形是一种特殊的相似图形，与它们的位置有关，而相似图形与它们的位置无关。两个位似图形的相似比就是它们的位似比。通过以上例题的分析，从运动变化的图形得特殊位置，探索出一般的结论或从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变换问题是极为重要的，因此，抓住这四种变换的特征和基本解题思路来指导我们的教学，将是一种事半功倍的好方法。

参考文献：

[1]=1＼*GB2刘顿：图形与变换的考点分析；初中生；2010年03期；湖南教育报刊社.

[2]=2＼*GB2季爱国：图形的变换在解题中的应用；学生之友（初中版）；2010年05期；黑龙江省哈尔滨市教育研究院、学生之友杂志社.

[3]=3＼*GB2义务教育数学课程标准（2011年版）；北京师范大学出版社.endprint