再谈在限定条件下非退化二次曲线内接梯形的存在性及作法

高振山

(长春市双阳区教师进修学校 130600)

读了文[1]，文[2]及文[3]受益匪浅，文[1]和文[2]利用较长的篇幅给出了在限定条件下非退化二次曲线内接梯形存在性探究，两文共给出8个命题，结论简洁，优美，十分有趣．笔者认为其证明虽然方法独特、巧妙但非常繁琐，8个命题虽然给出了梯形的存在性，但都没给出此梯形具体作法，另外文[1]的命题4应该添加“直线MA1不平行抛物线的对称轴”，文[2]的命题2和命题4都应该添加“直线MA1不过双曲线的中心”．文[3]给出了具体作法，但是在已知有心圆锥曲线的中心及抛物线的对称轴的前提下来完成的，文[3]的条件应该加上直线MA1与二次曲线C交另一点A2(或MA1不是圆锥曲线C的切线)，否则所做的是线段，就不是梯形了，另外文[3]没有指明点M何时是梯形的对角线交点，何时是梯形的两腰所在直线交点．

本文将以上8个命题概括为以下两个命题，同时给出非退化二次曲线内接梯形的具体作法，并且其作法是利用作二次曲线的极线，不需要已知有心二次曲线的中心及抛物线的对称轴，其证明也较为简洁．

引理1若T为非退化二次曲线，P为平面内一个定点(当T为有心二次曲线时，点P不在T的中心)，过点P的动直线PQ与T交于M1，M2两点，且PM1·QM2+PM2·QM1=0．则点Q在一条定直线上，这条定直线叫做点P关于T的极线，点P叫做这条定直线关于T的极点．

引理2若T为非退化二次曲线，P为不在T上的一个定点，当T为有心二次曲线时，点P不在其中心，过点P任意引两条直线与T分别交于A，B和C，D，直线AD和BC交于点M，直线AC和BD交于点N，则直线MN为点P关于T的极线，并且

(1)当点P在T外，并且当T为双曲线时，点P不在其渐近线上，直线MN与T有两个交点，设之为E，F，则PE和PF为T的两条切线；

(2)当T为双曲线时，点P在其渐近线上，直线MN与点P所在的渐近线平行，直线MN与T有一个交点，设之为E，则PE为T的切线；

(3)当点P在T内时，直线MN与T相离．

引理3若T为非退化二次曲线，P为不在T上的一个定点，当T为有心二次曲线时，点P不在其中心，并且当T为双曲线时，点P不在其渐近线上，过点P的两条直线与T分别交于A，B和C，D，直线AD和BC交于点M，AC∥BD，点P关于T的极线为l，则l过点M，且l∥AC(BD)．

引理4若T为非退化二次曲线，P为不在T上的一个定点，当T为有心二次曲线时，点P不在其中心，并且当T为双曲线时，点P不在其渐近线上，点P关于T的极线为l，A为T上一个定点，则直线PA为T的直径(当T为有心二次曲线时，直线PA过其中心，当T为抛物线时，直线PA与其对称轴平行或重合)的充要条件是过点A且与l平行的直线为T的切线．

引理5若T为非退化二次曲线，P为不在T上的一个定点，当T为有心二次曲线时，点P不在其中心，并且当T为双曲线时，点P不在其渐近线上，点P关于T的极线为l，A为T上一个定点，直线PA和T交另一点B，则P为弦AB的中点的充要条件是PA∥l．

命题1若T为非退化二次曲线，P为不在T上的一个定点，并且当T为双曲线时，点P不在其渐近线上，当T为椭圆或圆或抛物线时，点P在T外，A为T上一个定点，直线PA不是T的直径，射线PA和T交另一点B，作点P关于T的极线l，过点A引l的平行线交T于另一点C，再做射线PC交T于另一点D，则T的内接四边形ABDC为梯形(BD∥AC)，并且点P为此梯形两腰所在直线交点．

证明因为直线PA不是T的直径，所以由引理2和引理4可知A，C两点不重合，B，C两点不重合．

假设直线BD与AC不平行，设它们的交点为N，则由引理2可知l过点N，所以直线AC和l重合，所以由引理2可知

(1)当点P在T外时，PA为T的切线，这与射线PA和T交另一点B矛盾；

(2)当点P在T内时，AC与T相离，这与点A在T上矛盾.

所以假设不成立，所以BD∥AC，所以T的内接四边形ABDC为梯形，并且点P为此梯形两腰所在直线交点.

命题2若T为非退化二次曲线，P为不在T上的一个定点，并且当T为双曲线时，点P不在其渐近线上，当T为椭圆或圆或抛物线时，点P在T内，A为T上一个定点，直线AP不是T的直径，射线AP和T交另一点B，且点P不是弦AB的中点，作点P关于T的极线l，过点A引l的平行线交T于另一点C，再做射线CP交T于另一点D，则T的内接四边形ADBC为梯形(DB∥AC)，并且点P为此梯形两条对角线交点．

证明因为直线PA不是T的直径，所以由引理2和引理4可知A，C两点不重合，又因为射线AP和T交另一点B，且点P不是弦AB的中点，所以由引理5可得B，C两点不重合．

假设直线DB与AC不平行，设它们的交点为N，则由引理2可知l过点N，所以直线AC和l重合，所以由引理2可知

(1)当点P在T外时，PA为T的切线，这与射线AP和T交另一点B矛盾．

(2)当点P在T内时，AC与T相离，这与点A在T上矛盾．

所以假设不成立，所以BD∥AC，所以T的内接四边形ADBC为梯形，并且点P为此梯形两条对角线交点．

由于篇幅所限，以上5个引理的证明请参考文[2]-文[6]，部分引理的图形以及命题1和命题2当T为椭圆或圆或抛物线时的图形都没有给出，由读者自己完成，请谅解.