近十年高考数学文化命题的特征分析及启示①

孙庆括

(南昌师范学院数学与计算机科学系 330032)

①本文系2015年江西省高等学校教改课题“基础教育新课改背景下高师《数学史》课程体系改革研究”(JXJG-15-23-7)系列成果之一.

自从20世纪80年代美国数学家怀尔德(R.Wilder)提出了数学是一种文化体系的观点后，数学文化研究受到了世界各国的普遍重视，并在世界范围内掀起一股数学文化融入数学教育的研究热潮.我国2003年颁布的《普通高中数学课程标准(实验稿)》更是把“体现数学的文化价值”作为高中数学课程的十项基本理念之一，强调数学文化是贯穿整个高中数学课程的重要内容，数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神，要求把数学文化渗透到每个模块或专题中[1].为落实这一理念，各种版本的高中数学教材在每章节中都安排了蕴含丰富数学文化价值的“阅读材料”.进一步，无论各省市高考自主命题的地方卷，还是新课标全国卷，均出现了以数学文化为背景的试题，成为新课改理念下高考改革和发展的一道靓丽风景，尤其是湖北省，已经连续多年命制此类考题，逐渐形成了“依托数学史料，嵌入数学名题，彰显数学文化”高考数学命题特色和亮点[2].对近十年高考数学文化试题进行剖析，一方面为后续高考命题者命制出素材更加丰富和题型更加新颖的试题提供启发.另一方面，为广大中学数学教师更合理地利用教材进行数学文化的探究式教学提供参考.

1 试题特征分析

据不完全统计，2008-2016年有关数学文化的试题共34道(数学文化的标准不同，本文采用南开大学顾沛教授的数学文化广义内涵，包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系等)，在高考数学试题中的分值比重已越来越大，涉及湖北、北京、上海、浙江、江苏、江西、福建、全国卷等.其中，湖北卷几乎年均有2-3题左右，全国卷从2015年开始重视，以后每年都有题目出现.为更直接地体会全国各地高考数学新课标文、理试卷中的数学文化试题，按年份列出下表(见表1)，并总结出了数学文化背景试题的一些特征：

第一，从文理试卷分配看，数学文化背景试题出现在理科数学卷中较多，文科卷相对较少，但全国卷中文科卷出现较多.第二，从题型和知识点分布看，基本以选择题和填空题为主，计算题和证明题相对较少.另外，涉及到的知识点主要集中在函数、数列、立体几何证明与计算、各类几何形体的体积计算、比例计算、算法程序框图等.其中，数列与几何形体的体积计算、算法程序框图所占比重明显较大，也出现了有关数学史的几何证明题，且分值较大.第三，从素材选取来源来看，出自我国数学名著的数学文化真题几乎均来源于《九章算术》、《数书九章》及《算数书》，其中以《九章算术》为主.大多以古代社会人们的生活实际和生产实际为背景，且先用古汉语描述，再以现代汉语予以翻译和解释.另外，外国古代数学文化也有涉及，多以数学名题为主.可见，命题者也注意到了数学的文化多元性思想.第四，从类别和价值上看，涉及数学史料中的古算题、数学名题、数学家人物及优秀成果、数学与其它学科的文化联系等.其中，数学与其它学科的文化联系所占比例较少.进一步，突出科学价值、人文价值及应用价值较多，突出美学价值较少.第五，从呈现方式看，仅有显性和隐性两种形式.其中，显性形式是直接给出数学文化背景作为试题的情景或引子，解答与数学文化背景基本无关.而隐性形式是指不直接给出数学文化背景，隐含考查与数学文化相关的知识和思想方法[3].而显性和隐性两种相结合的呈现方式没有涉及.

表1 2008-2012年全国高考数学文化试题特征统计

2 试题欣赏与评析

2.1 以中国数学典籍史料中优秀成果为背景

1.算数书

评析此题来源于成书于公元前186年以前的《算数书》，是目前已知最早的中国数学著作，对后世《九章算术》的产生也有一定影响，开创了我国古代数学重应用的特色，标志着我国古代数学理论体系开始初步形成.本题考查圆锥的体积计算，较为简单，答案为B.但它的意义和价值实际上已远远超出了试题本身，会激发考生积极主动学习数学史知识，了解中国古代的数学成就.

2.九章算术

例3(2015全国Ⅰ卷·文6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问“积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( ).

A.14斛 B.22斛

C.36斛 D.66斛

图1

评析两道题均来自于大约成书于公元1世纪的《九章算术》，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系.其内容包括方田、粟米、衰分、少广、商工、均输、盈不足、方程、勾股等九章，全书共有246个问题，每个问题均有给出相当于数学公式的解答.例2和例3从试题形式上看有一定的相似性，较为简单.都是以《九章算术》中的问题为显性材料，通过文言与翻译相匹配理解问题的含义，结合球体积、圆锥体积等立体几何知识进行计算，素材新颖，贴近生活，弘扬了中国数学文化.例2根据球体积公式答案计算为D.例3根据题中的条件列出关于底面半径的方程，解出底面半径，进而求出其体积，再估算出堆放米的数量为B.

3.数书九章

例4(2013湖北卷·文16)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.注：① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸.

例5(2016全国Ⅱ卷·理8) 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=.

A．7 B．12 C．17 D．34

图2

评析试题源于成书1247年南宋时期秦九韶所著的《数书九章》，是对《九章算术》的继承和发展，概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，标志着中国古代数学的高峰.例4考查的是几何形体圆台的体积计算，与例1、例2和例3一样，都是以典籍史料中的问题为背景，通过数形结合、化归与转化等数学思想方法的运用求得答案为3寸.例5不同于例1-4题，仅局限于把《数书九章》中的“多项式值的算法”作为一个材料背景，而是把其中的秦九韶思想与算法的程序框图结合起来进行再创造，让考生运用所学的基本知识和技能解决问题，正是这道题的创新点，值得推广.

2.2 以外国数学家创造的数学名题为背景

1.阿波罗尼斯圆

例6(2014湖北卷·文17)已知圆O：x2+y2=1和点A(-2,0)，若定点B(b,0)(b≠-2)和常数λ满足：对圆O上那个任意一点M，都有|MB|=λ|MA|，则b=,λ=.

2.皮克定理

例7(2013湖北卷·文17)在平面直角坐标系中，若点P(x,y)的坐标x,y均为整数，则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图3中△ABC是格点三角形，对应的S=1,N=0,L=4.

图3

(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是；

(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c，其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18，则S=.

例8(2011北京卷·理8)设A(0,0),B(4,0)，C(t+4,4),D(t,4)(t∈R).记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N(t)的值域为( ).

A．{9,10,11} B．{9,10,12}

C．{9,11,12} D．{10,11,12}

3.布洛卡点

图4

例10(2011北京大学保送试题)△ABC内部一点O，满足∠BAO=∠CAO=∠ACO，

求证：三边成等比数列.

2.3 以数学与其它学科的联系为背景

例10(2012湖北卷·文17)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3443，94249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99.三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则：

(1)4位回文数有个；(2)2n+1(n∈N+)位回文数有个.

评析“回文”是古今中外文学作品中都有的一种特殊修辞方式，是正读反读都能读通的句子，有回文诗、回文联等.如“灵山大佛，佛大山灵”，其意境和韵味读来都是美妙的，体现了数学的对称之美.数学中的“回文数”是指无论从左读到右还是从右读到左，都是同一个数.如121，2002，12321等.第1问中4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，即9×10=90；第2问中根据规律2位数有回文数9个，3位数有90个，4位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00，11，22，…99”，故有90个，即有2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同.而2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0，有9种情况，后面n项每项有10种情况，故个数为9×10n.

3 启示与思考

3.1 命题者要兼顾题型多样化和设计方式创新性

第一，研究数学文化题型设计的多样化.改变当前多以选择题和填空题为主，题型单一，考查功能有所缺失的特点.研究设计包括证明题和计算题等其他题型，同时探索多元化的设问方式，提高数学文化内容的考查信度和效度.

第二，丰富数学文化素材选取的类型.目前素材类型主要涉及数学名著、数学名题等，像数学游戏、数学与其它学科的联系等其他类型涉及较少.因此，从实际出发结合学生的实际和考试效度选择丰富的数学文化素材类型设计试题至关重要.比如美国《数学教师》杂志在这方面进行了大量研究.从2007-2012年共发表数学文化类论文120篇，其中涉及数学与自然科学、数学与文学、数学与艺术、数学与社会科学、数学与建筑、数学与生活、数学与游戏、数学与体育等8类主题，每类主题均开发了大量素材新颖的数学文化试题.

第三，创新数学文化试题的呈现方式.目前，大多数试题以数学文化背景或数学名题“再现”的方法进行呈现，考查方式较为传统.因此，要把数学文化内容与考查学生的观察、归纳、概括、猜想、发现等能力和数学素养结合起来.比如Suzuki[5]通过数学与诗歌之间的联系，结合集合和排列知识，开发了这样一道试题：诗歌的每一行末尾是押韵的，分别以A、B、C、D等来表示各个韵脚.在数学上，这些字母各对应于一些单词所组成的集合.如A={moon,tune,spoon,…}，B={fate,late,mate,date,…}.若诗歌的韵律为ABAB，则第一、三行以A中的单词结尾，二、四行以B中的单词结尾.一首好诗要求集合A、B、C、…不能有交集.如莎士比亚十四行诗的韵律为ABAB CDCD EFEF GG.问：(1)三个韵脚A、B和C共有多少种排列？(3!=6).(2)一首6×3=18行的诗歌应包含的所有格式为？(ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA).

3.2 教师要巧用教材中数学文化素材展开探究教学

第一，巧用教材中数学文化专题或模块进行常规教学.一方面，挖掘教材中许多专题的独特文化背景，利用问题、方法的背景或者产生的曲折历程，创设充满浓郁数学文化的教学问题情景.另一方面，借助数学文化突破教学难点.如对高中函数概念的教学，如果采取传统的先给出定义，再举例、练习强化的方式进行教学，往往效果不佳．教学中可以先利用函数概念的发展史，从变量说引入，到对应说，再到关系说，再合理应用一些“怪的函数”如符号函数和高斯函数等，可以帮助学生理解函数的概念和本质，从而提升学生对学科本质的认识.

第二，善用教材中隐性数学文化知识进行拓展训练.当前教材中出现了许多高考数学文化命题素材来源题.如“阿波罗尼斯圆”、“回文数”、“三角形数”分别出现在人教版高中数学必修2第131页习题4及必修3第51页第3题和必修5第28页的正文部分.因此，教师上课时要有意识的对这些数学文化素材或历史名题进行拓展改编.比如根据布洛卡点的基本性质，就可以结合余弦定理、外森比克不等式和等比数列等知识拓展许多变式问题[6].

第三，编写具有数学文化的校本课程或讲义.比如可以搜集资料编写数学历史名题集和部分高中数学知识历史发展专题讲义.进一步，鼓励学生阅读关于与中学数学教育相关的数学文化著作.