仿射坐标系下的向量外积

袁兆明

(北京师范大学数学科学学院 100875)

1 一些记号和预备知识

首先.对于三维欧式空间3的一组不共面的向量e1,e2,e3,我们可以唯一以其作为一组基底构造仿射坐标系.记gij=ei·ej,由于内积的交换性,故

ei·ej=ej·ei,

亦即

gij=gji,∀i,j∈{1,2,3}.

由此诱导的度量系数矩阵

是一个正定的对称矩阵.|g|>0.

我们定义三个向量的混合积为:

[a,b,c]=(a×b)·c.

在Descartes右手直角坐标系中,gij=δij,故g=I3.

任意三个向量a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),c=(cx,cy,cz),有

a·b=abT,

在一般的仿射坐标系.对于任意两个向量a,b有

a·b=agbT,

可是我们并没有给出明确的计算外积的公式.在这里.经过推导.我们将给出仿射坐标系下向量外积一般的坐标表达式.即有如下定理成立:

对于空间中任意两个向量a,b以及任意三个不共面的向量e1,e2,e3,有:

2 基向量间的外积

2.1 从Descartes系看一般仿射系

在Descartes坐标系中.证明外积的公式有大致两种证明方法:

1.求出基向量之间的外积.利用外积的线性性质求任意向量的外积.

2.通过一般性地设出所求向量.根据外积的性质解得向量的坐标.

在这里.我们将同时采用这两种方法.即用待定系数法确定基向量间的外积.再利用外积的线性性质求一般向量的外积.

2.2 一组基向量间的外积

我们取{O;e1,e2,e3}为仿射坐标系的一组基.记c=e1×e2并设c=xe1+ye2+ze3,则

c·e1=(xe1+ye2+ze3)·e1=xg11+yg12+zg13

c·e2=(xe1+ye2+ze3)·e2=xg21+yg22+zg23.

这是一个齐次线性方程组.并且e1和e2不平行.解得这个方程组的解空间为

(x,y,z)=λ(x0,y0,z0)

记c=λc0,c0=(x0,y0,z0),其中λ≠0.

我们通过整理c0可以得到如下的结果:

|c0|2=(x0e1+y0e2+z0e3)2

2y0z0g23+2x0y0g13

=(g12g23-g13g22)2g11+(g13g21-g11g23)2·g22+(g11g22-g12g21)2g33+2(g12g23-g13g22)·(g13g21-g11g23)g12+2(g13g21-g11g23)(g11g22-g12g21)g23+2(g12g23-g13g22)(g11g22-g12g21)g13

由向量的性质.我们知道,

|a·b|2+|a×b|2=|a|2|b|2.

代入c0,c与a,b的关系可知:

而由代数关系.我们知道:

上式右端即为|g|.

由之前的推导.我们可以得到

而由于g是正定矩阵.|g|>0故:

sign[e1,e2,e3]=signλ,

2.3 其它基向量间的外积表达式

为了讨论方便.我们把之前对于e1×e2的系数λ暂记为λ12,用同样的方法计算时.得到ei×ej的系数记为λij(i≠j)记k为不同于i和j的另一个数.并且

在选取e1,e2这两个基向量做外积的时候.我们得到了系数λ12的符号.与三个基向量的混合积相同.那么.当我们选取其它基向量时.系数λij的符号会如何呢？

首先.由于向量的混合积具有轮换的性质.我们知道

[e1,e2,e3]=[e2,e3,e1]=[e3,e1,e2],

[e2,e1,e3]=[e3,e2,e1]=[e1,e3,e2].

所以我们可以得到

与[ei,ej,ek]=επij[e1,e2,e3]及[e1,e2,e3]的结构比较,可以得到

λij=λ12,∀i≠j.

我们仍旧将其记作λ,

当(i,j)=(1,2)的时候.上式即变成e1×e2式.至此,我们得到了在仿射坐标系下任意两个基向量之间外积的坐标表达式.

3 一般两向量间的外积

下面.我们通过外积的线性性质.得出一般的两个向量的外积表达式.首先.由我们已知:

对于任意向量a=xae1+yae2+zae3,

a×e2=(xae1+yae2+zae3)×e2

同理，对于b=xbe1+ybe2+zbe3,方法相似地可以得到:

将λ的值代入.最后.我们得到仿射坐标系下.一般的两个向量外积的表达式为:

a×b=

4 进一步的讨论

4.1 进一步化简这个表达式

我们下面来进一步的讨论这个式子.设{i,j,k}是一组单位正交基向量.那么由空间向量基本定理,存在过渡矩阵T,使得

(e1,e2,e3)=(i,j,k)·T,

其中

我们经过验证.易知

T·TT=g,

而且[e1,e2,e3]=|T|.

所以我们有

所以.我们可以将我们之前得到的表达式进行进一步的整理.最终可得:

在Descartes坐标系下.上式便退化成我们熟知的外积表达式(1).

4.2 结论

经过如上的化简.我们已经知道了一般的仿射坐标系下两个外积的坐标表达式.这个表达式中的每一项都是与e1,e2,e3这组基向量的选取相关的,但是最后我们算出来的结果却是与基向量的选取无关的量,体现了解析几何中的一个重要的本质问题:坐标只是一个强而有力的工具,我们更关心的是那些不依赖于坐标的选取而变化的量.