思维主导 彰显数学教学本色——基于“直线与圆的位置关系”的案例分析

倪科技

(江苏省徐州市第一中学 221000)

近年来的课改在全国各地如火如荼地开展，共同的特征是越发突出学生的主体地位，进一步强调学生的自主学习，即学为中心．数学课堂在悄然发生变化，预习前置让学生先学而后教，延伸课堂让学生课后继续探究，各种教学模式层出不穷．其中，有些做法似乎偏离了数学课堂的主旨．新授课不知不觉变成了习题课，复习课也俨然成了训练课，大量的变式题目排山倒海而来……这些现象需要我们冷静下来分析，及时总结经验与教训，以免曲解了课改的真正含义．

改革不断前行，形式不断变化，然而数学课堂始终应是思维主导的课堂．笔者从“直线与圆的位置关系”复习课中进一步体会到“为思维而教”的真正含义和做法，如鲠在喉不吐不快，特梳理成文，就教于同行．

1 教学实录与说明

观摩课的课题是复习课“直线与圆的位置关系”，上课教师使用了“导学案”将预复习前置．课堂上，气氛活跃，效果极佳，学生的自主活动与交流占据了课堂较多的时间．下面针对这节课的两个教学片断加以分析和反思：

1.1 教学片断1

在梳理完基本内容后，教师用实物投影仪投出学生的导学案：

师：课前请同学们推荐了2道有关直线与圆的试题，现在请你说说你所推荐的题，与其他同学分享，并请说出推荐理由．

投影1：与圆x2+(y-2)2=1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有________条．

师：(将学生推荐的题及解答用实物投影呈现)请推荐这题的同学说说推荐理由．

生1：我觉得直线与圆的问题，相切是重点考查内容，所以推荐了一个相切的题，“截距”主要是考虑容易漏解．

师：(几何画板演示)很好，不仅有重点考查内容，还包含了直线截距式方程的局限性．

生2：这是直线与圆相交的问题，也是常考的内容．弦长问题常转化为圆心到直线的距离来解决．

师：(几何画板演示)很好！相交也是直线与圆的一种重要位置关系，是考查的热点．

投影3：已知P(x,y)为圆x2+y2-4x+3=0上任一点，则：

师：(几何画板演示)也就是“线性规划”类的题目．这里体现了直线与圆的什么位置关系吗？

生3：因为点P在圆上，所以直线OP应与圆相交或相切，第2问的平行线也应该与圆相交或相切．

师：很好！你推荐了一道直线与圆的动态位置关系的题目，包含了相切与相交．

设计意图因为是复习课，学生已掌握“直线和圆的方程”相关知识和方法，课前布置学生推荐好题，旨在提高学生数学学习的积极性和主动性，提高学习兴趣，也能更快地培养学生归纳、分析、解决数学问题的能力．让学生展示自己的好题并说出推荐理由，让其主人翁意识进一步增强，既能培养学生的语言表达能力、逻辑思维能力及其创造力、判断力，还能全面提升学生的数学素养，让学生真正成为课堂的主人，凸显思维教学的深层次．

本环节是在梳理完所要复习的主要内容后的学生活动．课前学生筛选问题，精选2道书写在导学案上，并解答好，教师再从中挑选出3道题，也是重点、常考的内容与方法，在课堂上通过实物投影将题目和解答过程呈现给大家看，选题的学生要说出自己推荐的理由，教师则利用制作好的几何画板课件动态演示，给题目以直观的呈现，也可以让学生的思维跃上新的高度．之后的课堂活动是师生对导学案上的两道典型例题的处理，此处略．

1.2 教学片断2

在两道典型例题解决后，教师用多媒体给出了如下问题：

例(1)自直线x-y+4=0上的点P(2,6)作圆C:x2+y2=4的切线，求切线的方程，并求出切线长．

(2)自直线x-y+4=0上任意一点P(x,y)作圆C:x2+y2=4的两条切线，切点分别为A、B，以此为条件，你认为有哪些问题可以研究？请你把问题编写完整，并尝试解答．

(学生独立思考，后小组讨论，准备交流展示)

生1：求切线PA长的最小值．

师：切线长，刚才涉及到的量，现在可以求它的最值．为什么是最小值呢？

生1：因为当点P足够远的时候，PA就无限长了，没有最大值，只有最小值．

师：很好，一个直观形象的感觉．

生2：求四边形PAOB的面积的最值．

师：好，随着点P的移动，四边形PAOB也在变，可以求其面积的最值．最什么值呢？

生2：我还没算出来．

师：好，暂时先写着“求最值”(教师板书)．

生3：求AB中点的轨迹．

师：哦，两切点运动，可以求切点弦AB的中点轨迹，很好．那关注到切点弦，还可以求什么？

生3：求弦长．

师：好，可以求弦长．那就需要弦所在直线的方程，直线AB的方程可以求吗？

生3：应该可以．

生4：求∠APB的最值，应该是最大值．

师：直观上感觉∠APB有最大值．那现在我们可以研究切线长，也可以研究两切线的夹角．有长度、有角度，那还可以研究什么呢？

生5：求△PAB的外接圆的方程．

师：能看出这个圆的圆心在什么位置吗？

生5：在线段OP的中点，因为AP⊥AO，BP⊥BO．

师：也就是说，P、A、O、B，这四点是共圆的．那我们就可以研究四边形PAOB的外接圆了．因为点P的移动，所以这个外接圆也在动．关注这个动圆，我们还可以研究什么？

生5：动圆过定点．

师：很好！在我们的经验中，如果圆的方程中有一个参量，那就可以求它所过的定点．这里，动点P在直线上，所以可以用一个参量(比如x)来表示，也就可以用它来表示圆的方程．

师：时间有限，我们不可能把大家编写的问题都罗列出来解决，就让我们先来解决这几个问题吧．(接着，教师带领学生一同分析解决上述问题)

设计意图本环节从学生易于解决的问题入手，在解决之后，并未像前两题一样稍作总结就结束了，而是将问题一般化，把特殊点变为任意点，引导学生用类比的方法思考直线和圆方程中的类似问题，在动手实践的基础上发现并提出新问题，从而尝试对新问题进行描述和动手探究，意在使学生体会发现问题和提出问题的方法．

这是本节复习课的最后一道例题，处理完问(1)距下课还有十多分钟的时间，之后对问(2)，教师引导学生思考、讨论、展示、交流．学生自主提出5个问题，在教师的引导下，又有4个新问题被提出．在解决的过程中，教师又引领学生深入研究．前两个问题解决后，发现最值取得时，四边形PAOB恰是正方形，顺势教师提出可以研究四边形PAOB何时为正方形；∠APB的最大值求出是90°时，教师又提出若∠APB=60°，那么点P的横坐标的范围如何等等，问题不断衍生，探究永不停止，从而让思维的教学更具穿透力、延展力．

2 教学回眸与感悟

回眸这节课的两个教学片断，均构出了一番精彩的学生活动，体现了思维教学的魅力．虽然是解析几何中直线与圆的复习课，但给我们的感觉是更加以思维为主，为使学生的思维能再上新台阶，洞悉此类问题的本质，设计学生的学习过程借助一定的教学环境进行自我建构、自我成长和自我发展，通过“师生互动”、“反思交流”等多种学习方式，突出了学生的主动性、参与性和交流性，从而使学生的主体性得到充分的发挥，思维教学的活动自然可以达到好的效果．让人听来受益匪浅，想来感受颇多．

2.1 先学后教，奠基思维教学的高起点

教学的有效性在于对学生思维所产生的影响，发展学生的思维能力是我们数学教学的重要任务．如果能在课前通过学生的先学，奠定较高的思维起点，教学过程中，教师即可以重视学生的思维视角，顺着学生的思路展开，其参与探究学习的积极性会更高，学生主体意识发挥的会更好．先学后教，以学定教，充分体现了学生的主体地位，然而也需要把握好度才能收放自如，不能让自主学习变成对学生的放任自流．学生课前先沿着“导学案”的过程走了一遍，重在梳理基本知识点与解决基本问题，自主先学，反思纠错，目的则是为了让课堂思维教学奠定好的思维起点．课堂上教师再利用实物投影展示学生的导学案，对思路的分析、过程的书写、规范的细节等方面都进行了针对性的点评．教学片断2中，学生课前做了一定的习题，有了一定的思维基础，虽自主找题，但还不能盲目找题，得有推荐给大家值得一做的理由，为思维的进一步发展提供了空间．从学生的回答上看，选题的基本原则是重点的、热点的常考内容．这对学生来说，课前还是比较容易做到的．学生学的有度，教师教的有方，如此，优化了课堂结构，节省了课堂用时，使得学生可以将思维解放出来，在课堂上更好的实施更深入的探究，也是激发学生思维活动的有效途径．

2.2 交流展示，让思维教学在互动碰撞中展开

数学是思维的体操，离开了思维便不再是数学．思维的教学是数学教学的主体内容．虽然是解析几何的复习，但教师并没有将重点放在运算上面，而是精心设计了学生的思考、讨论、交流、展示等思维活动．教师的开放性问题的提出，使得学生的思维发散开来，学生要努力去寻找经验中的一点点关联的念头，构造新的问题，这是一次思维的有效提升．教师设置的“推荐理由”引领学生从题目中走出来．虽然学生选的题多是成题，但要归纳出问题的类型，回扣核心知识点，还是不容易的，需要学生丰富的思维活动．

如何在教学过程中凸显思维教学的有效性？学生学习的效果和质量与学习方式方法密切相关，课改的今天，“师生互动”、“生生互动”、“生本互动”、“独立思考”、“小组讨论”、“展示交流”等都是数学课堂学习的常见方式，而“小组讨论、交流展示”的学习方式充分利用了同学之间年龄相仿、心理相近、志趣相投、相互启迪等有利因素，让思维的教学在学生交流碰撞中得以充分发展，让部分学生的思维火花衍生为全班学生的智慧之光．用思维来主导的数学课堂，才是数学的课堂，才能有效促进学生的思维进阶，才能实现数学本来的教育目的．

2.3 自主提问，促思维教学在反思中持续发展

数学解题有五种境界：正确解题、一题多解、多题一解、发现规律、自己编题．我们的教学大多数时间都在前三种境界里徘徊．而为了这三种境界，学生要付出大量的时间与精力，从而难得能有时间去深入探究、发现规律，更谈不上欣赏把玩、动手编题．但“纸上得来终觉浅”，学生的一次动手实践比解百题还要有收获，因为他需要随时调动知识与方法，是对知识掌握娴熟的重要表现．课前教师设计让学生选题，学生是在限制下的自主，他需要对所选题目有较为深刻的理解，重点考查什么，解决关键是什么，解后有什么启示等等．如此，势必“逼”着学生深入学习，深入理解，深入体悟．

反思是人类学习的一种高级形式，是自我提升的有效办法．学生思维发展的一个重要标志是能够自主提出有效的问题．课堂上，学生要在所给的条件下编写新的问题，便要调动他的一切经验与认知，因此有可能打破他们原有的知识结构并重构，甚至要对经验中相关性弱的知识进行重组，难度稍大，但定会促进思维能力的进一步提升．当然学生所能提出的问题和他的经验(做过的类型题)息息相关．当学生提出的问题浅显时，教师可以引导学生从其他的角度再想一想，引领学生站在更高的角度上看问题，教会了学生编题、变题，提升了学生对知识与方法的理解能力，这或许会超出原有的经验而形成新的经验，用于指导后续的学习．提出问题比解决问题要难得多，但也唯有经历痛苦的蜕变，才能腾飞于无边的天际，唯有反思帮助自己提升数学思维的深度，才能自主搭建探究活动的“生长点”，利于数学思维能力和探究能力的持续发展．

3 结语

即将到来的更深层次的课程改革提出在我们的教育教学活动中应重视对学生核心素养的培养．数学学科的六大核心素养可从三个维度来阐释：用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达世界．我们深信，在教育教学的过程中更多的需要“授人以渔”，而不仅仅“授人以鱼”，这是每一个教育工作者的追求．我们应站在更高的层次上看待数学教育，发挥数学的育人功能，培养学生数学的看、想、说，让思维真正主导课堂，才能彰显数学教学的本色．当教育教学真正成为教师个体充满智慧的活动，我们也会更加重视培养学生的数学思维能力，会鼓励学生大胆的求同、求异、求变思维，才会欣喜地企盼“雪融化之后是——春”的精彩的课堂．