例谈高中数学核心概念的教学——“函数零点”的教学反思

陈玉娟

(江苏省常州高级中学 213003)

函数是高中数学的核心内容．“函数与方程”是函数一章继指数函数、对数函数、幂函数三种重要函数模型后函数思想方法的具体应用,主要涉及函数零点的概念和零点存在定理．笔者在教学实践中发现学生对零点概念和定理的理解深刻性不够,综合应用困难较大．为此,本人进行了教学反思,希望同行不吝赐教．

1 在概念和定理的认知中,注重学生数学思维品质的培养

培养和发展学生的数学思维能力是发展智力、全面培养数学能力的主要途径,《普通高中数学课程标准》提出应注重提高学生的数学思维能力,这是数学教育的基本目标之一．

苏教版《高中数学必修1》对函数零点的定义、定理分别是这样描述的：

定义使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点．

定理若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点．

1.1 揭示本质特征,培养学生思维的深刻性

函数与方程是密不可分的,图象是函数的一种重要表达方式,为了帮助学生深刻理解函数零点的概念,教学中可从学生已有的方程、函数图象的知识入手逐层提供探索的空间．

(1)创设情境,明确目标

试解下列方程：①x2-2x-1=0；②x3-2x-1=0；③lnx+2x-6=0．

(2)观察对比,形成概念

在几何画板的帮助下,分别绘制函数f(x)=x2-2x-1,g(x)=x3-2x-1,h(x)=lnx+2x-6的图象,引导学生考察函数图象与x轴交点与相应方程根之间的联系,由此引入函数零点的概念．

(3)认识关系,建构联系

首先,通过几何画板的动态演示,组织学生探讨二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点问题,由此建立它与相应方程ax2+bx+c=0根的联系,得出下表：

Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(-b2a,0)无交点ax2+bx+c=0的根x1,2=-b±Δ2ax1=x2=-b2a无实根y=ax2+bx+c的零点x1,2=-b±Δ2ax1=x2=-b2a无零点

接着组织学生进一步研讨得出一般情况下方程与函数零点的等价关系：

1.2 创设新的情境,培养学生思维的灵活性

学习数学的目的是为了应用数学．在完成教材中简单的例题教学之后,教师可进行变式和拓展,提出更为深刻的问题．如：函数y=lnx+2x-6存在几个零点？

课堂实践发现,学生的策略一是采取列举尝试的方法,但发现该方法不确定因素较多,可能多次尝试也不一定成功．策略二是画出函数y=lnx+2x-6的图象,但需结合函数性质,列表、描点才能画图,其中还涉及lnx的函数值的计算,整个过程比较繁琐．

如何才能化繁为简呢？教师应逐步指点学生思考的方向,探究灵活简捷的思维途径．

1.3 添加新的条件,培养学生思维的创造性

在定理的学习中,可提出以下问题,引领学生探究：

问题1：定理条件中的[a,b]和结论中(a,b)能互换吗？能都改为(a,b)(或[a,b])吗？

问题2：定理结论中仅谈及零点的“存在性”,能进一步得出零点的个数吗？

问题3：定理的逆命题,即“若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则f(a)·f(b)<0”成立吗？

问题4：在定理的具体应用中,区间端a,b的值如何确定？

对于问题1、2、3,可组织学生自我研讨,对于问题4,教师可设计典型例题来解决．

2 在概念和定理的应用中,体现数学思想方法的教学智慧

“零点”内容涉及的数学思想方法有函数与方程、转化和化归、数形结合、分类讨论等,教学中应让学生充分经历由图形连续变化的趋势来判断零点存在与否的过程,体会和感悟函数与方程之间的关系,运用转化的思想和分类讨论的方法,化繁为简、化难为易解决问题．为此,教师应设计典型例题,体现数学思想方法的教学智慧．

例已知a为实常数,若函数f(x)=lnx-ax+1恰有两个不同的零点,求a的取值范围．

2.1 分类思想巧在“标准”,化“繁”为“简”

分类思想是根据数学对象本质属性的相同点与不同点,将其分成几个不同种类的一种数学思想．对较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决[1]．应用分类讨论,往往能使复杂问题简单化．

例题分析由题意,f′(x)=x-1-a．因为含有参变量a,所以需通过分类讨论函数的单调性、极值等性质来研究函数的图象,从而进一步研究函数零点问题,这是问题的突破口．由f(x)的定义域为(0,+∞)易知分类的标准．

①当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,不可能有两个零点；

②当a>0时,在区间(0,a-1)上,f′(x)>0,f(x)单调递增,在区间(a-1,+∞)上,f′(x)<0,f(x)单调递减,得出f(a-1)为函数f(x)的极大值即最大值,从而可画出函数的大致图象．

2.2 数形结合贵在“结合”,化“虚”为“实”

把数量关系的研究转化为图形性质的研究,或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究,这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略,就是数形结合的思想．

例题分析数与形是数学研究的两个重要方面,运用数形结合思想方法解决数学问题时,一方面,我们可以借助“形”的生动和直观性认识“数”,画出y=f(x)的图象,如图1.另一方面,我们还需将图形问题转化为代数问题,借助于“数”的精确,规范地阐明“形”的属性,以获得精确的结论．根据函数的单调性和极值,只能画出函数的“草图”,定性地分析函数两端的图象趋势,即当x→0时,f(x)→-∞；当x→+∞时,f(x)→-∞．由此得出f(a-1)>0,解得0

图1

因此,当我们难以从图形中采纳到精确的信息时,就应在观察图象的基础上进行科学精确的代数计算来确定最后的结论．对此,华罗庚先生曾有非常精辟的表述：“数形本是两依倚,焉能分作两边飞．数缺形时少直观,形少数时难入微”．

2.3 函数思想妙在“构造”,化“难”为“易”

函数、方程都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要数学模型,运用函数思想解决问题时常需要构造函数,构造法属非常规思维,它适用于对某些常规方法不易解决的问题．

例题分析由图1可知,若f(a-1)≤0,则f(x)最多有一个零点,从而得出满足条件的实数a的一个必要条件是f(a-1)>0,即0

定理条件中函数图象的连续性和单调性是显然的,关键在于区间端“a,b”的值的确定,即前文中的问题4.不妨设x1,x2(x10．所以存在x1∈(e-1,a-1),使得f(x1)=0,即函数f(x)在区间(e-1,a-1)存在一个零点．围绕零点x2区间端“a,b”值的寻求和证明比较困难,需要直觉观察,通过构造函数,进行逻辑证明．区间的左端显然是a-1,右端需先观察、猜测b取大于a-1的e2a-2,再构造函数证明f(e2a-2)<0．因为f(e2a-2)=3-2lna-e2a-1,为此,构造函数F(a)=3-2lna-e2a-1(00,F(a)在(0,1)上单调递增,所以F(a)

图2

2.4 转化思想重在“归一”,化“生”为“熟”

转化思想是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的数学思想方法．我们经常通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化的、简单的问题．

上文中围绕零点x2区间端“a,b”中b的取值,需要先猜后证,给问题的解决带来了较大困难,大多数学生感觉“猜”的过程似乎“大海捞针”,“捞”上的也可能不是需要的“针”．产生困难的原因在于f(x)的解析式中含有的lnx,它的函数值计算不方便,也较难估算．而且它与-ax+1不是 “同一系列”的函数,如果能把他们转化为“同类”关系,问题就容易解决了．另外,还需弄清楚寻找零点x2区间的右端“b”的最终目的是要达成定理中的一个条件,即f(b)<0．两点结合起来看,若能把函数f(x)转化为开口向下的二次函数就“猜着了”．

2.5 实践体悟数学思想方法,提升数学思维能力

数学思想是内隐的,数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段．数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映了数学对象间的内在联系[3]．笔者认为,数学思想形成的前提是让学生经历应用的历练,而教师提供时间与空间是“方法”提升为“思想”的保证．为了促使学生更好地感悟数学的思想方法,提升数学的思维能力,教学中就需要教师进一步的引领和学生群体的互动．

若函数g(x)=f(x)-ax恰有两个不同的零点,求实数a的取值范围．

学生解决问题的策略大致归为两类．

方法1第一步：运用转化划归的思想方法．将问题转化为求方程f(x)-ax=0恰有两个不同的实根时a的取值范围．

第二步：运用函数思想方法．分别构造函数y=f(x)和y=ax,问题再次转化为求两个图象恰有两个不同交点时a的取值范围．

图3

教学统计发现,采用方法1的学生出错率较高,原因一是画图粗糙,没能正确求得两个特殊位置对应的a的值,二是没能准确地“运动”观察、讨论两个图象的交点情况．方法2由于巧妙“构造”了平行直线系,弥补了以上不足,“看图说话”较方法1容易许多,准确率较高．

图4

数学思想方法都是以一定的数学知识为基础,反过来又促进数学知识的深化以及向能力的转化．《普通高中数学课程标准》明确提出数学教学必须鼓励学生积极参与数学活动,不仅是行为上的参与,更要有思维上的参与．笔者认为,在高中数学的核心概念教学中,要引导学生体会和领悟数学思想方法中蕴含的数学的本质内涵和的重要规律．要通过各种方式激活思维,深化思维,不断地提高数学思维能力．这样才能逐步提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力,不断提高学生的思维品质和数学素养．