数学问题解答

2016年12月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

(山东省泰安市宁阳县第一中学 刘才华 271400)

证明设⊙O的半径为r,PA=PB=λ，

∠MPN=α,∠PMN=β,∠PNM=γ，

在△QCM中，由正弦定理得

2337在△ABC中，设a，b，c为其三边长，表示对a,b,c循环求和，则

(四川成都金牛西林巷18号华鑫园A601 宿晓阳 610031)

证明易知

所以由上述等式及同号得正，异号得负，即得命题成立.

2338已知在△ABC中，∠B=2∠C，点D1、D2在BC上，且∠BAD1=∠CAD2.

求证：BD1·BD2≤(AC-AB)2

(北京市陈经纶中学 张留杰 100020)

证明如图，延长CD1到E，使BE=BA，

则有∠1=∠2，∠ABC=∠1+∠2=2∠1.

因为∠ABC=2∠C，

所以∠C=∠1，AE=AC，

①

因为∠BAD1=∠CAD2，

所以AD1、AD2为∠BAC的内等角线，

由三角形内等角线性质可得

所以AC2(BD1·BD2)=AB2·BC2-AB2·BC·(BD1+BD2)+AB2(BD1·BD2)，

所以 (AC2-AB2)(BD1·BD2)

=AB2·BC2-AB2·BC(BD1+BD2).

②

把①代入②，得

(AC2-AB2)(BD1·BD2)

所以BD1·BD2

=AC2-AB2-AB(BD1+BD2)，

所以BD1·BD2

≤AC2，

所以BD1·BD2≤(AC-AB)2.

当且仅当∠BAC的内等角线AD1与AD2重合为∠BAC的角平分线时，不等式中的等号成立.

2339设△ABC三边长、三内角、半周长、外接圆和内切圆半径分别为a,b,c,A,B,C,s,R,r,则有

(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)

那么就有

(河南省辉县市一中 贺基军 453600)

证明如图，在Rt△ABC中，作PiQi⊥AC于点Qi，i=1,2,…,2n-1.

根据题设及PiQi∥BC可得

在Rt△APiQi中，PiQi=AQi·tanA.

在Rt△CPiQi中，

又 tan(∠ACP2n-1-∠ACP2n-2)

即 tan2A-4tanA+3<0,解得1

∠BCP2n-1+∠ACP2n-1=90°，

故 tan∠ACP2n-1=126.

=(2n-1)tanA，

从而有(2n-1)tanA=126，

即43<2n<127.

因正整数n≥2，又26=64，故n=6.

由(2n-1)tanA=126得tanA=2.

2017年1月号问题

(来稿请注明出处——编者)

2341已知a,b,c,d≥0,a+b+c+d=3,求证：

a+ab+abc+abcd≤4.

(陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平 712000)

2342设⊙N切△ABC的两边CA，CB于点E，F，同时与△ABC的外接圆⊙O内切于点P．连结CN并延长交⊙O于T，求证：⊙(T,TB)与EF相切 ．

(湖北省谷城县第三中学 贺 斌 441700)

2343设ai,xi,λi∈R，(i=1,2,…,λ,n≥2),t∈R，且

M1=λ1x1+λ2x2+…+λn-1xn-1+λnxn>0，

M2=λ2x1+λ3x2+…+λnxn-1+λ1xn>0，

…………………………………………

Mn=λnx1+λ1x2+…+λn-2xn-1+λn-1xn>0，

并令

N1=(t-λ1)x1+(t-λ2)x2+…+(t-λn)xn，

N2=(t-λ2)x1+(t-λ3)x2+…+(t-λ1)xn，

…………………………………………

Nn=(t-λn)x1+(t-λ1)x2+…+(t-λn-1)xn，

若t(λ1+λ2+…+λn)>0，

若t(λ1+λ2+…+λn)<0，则式中不等号反向．

(河南质量工程职业学院李永利 467000)

2344在△ABC中，以BC中点M为圆心，BC为直径作圆交AB、AC于F、E，连接FC，EB，其交点为D，FE交AD于P，BP、ME交Q，求证：QA∥BC．

(江西师范高等专科学校 王建荣 陈志钦 335000)

(甘肃省秦安县第二中学 罗文军 741600)