小议高中数学解题的几种重要的思想方法

邹国平

摘要：数学思想方法在数学解题中居于指导地位，本文通过阐述一些常见数学思想方法的特点，并通过一些典型例题来加深对思想方法的理解。从而培养学生分析和解决问题的能力。

关键词：思想方法；数形结合；分类讨论；特殊到一般；转换与化归

数学思想方法是数学解题的灵魂，在数学学习中占据核心地位。现在的高考题目，都注重考查数学的基本思想方法。要学好数学，必须要掌握一些必要的思想方法。如此，才能从理论的高度去把握数学题目，才能使我们在解决数学问题时做到得心应手。高中数学的思想方法还是比较多的，下面就简要论述以下四种思想方法。

一、 数形结合

数形结合的方法是非常重要的。基本上，数学的每一个模块的学习都离不开它。它贯穿了数学学习的全过程。在高中数学的学习中，它的作用显得尤为突出。比如在集合中，我们常借助于“韦恩圖”来描述集合中的各种包含关系，非常的直观、易懂，这就是图形的一大优点。又比如在学习函数时，我们常利用函数的图像来研究函数的各种性质。例如：单调性、奇偶性、对称性、周期性等一些重要的性质，在图像上是一目了然的。通过图像，我们在解题时就有了很好的参照，不容易出错。离开了图像，宛如是无源之水。反之，我们在研究图像时，有时也利用代数的方法。解析几何的创立即是用代数的方法来研究几何问题。利用代数，可以加深我们对于图形的理解。有的几何题目，可以利用代数来解答。反之，一些代数题，也可以给出一个巧妙的几何证明。比如，在数学史上享有盛誉的勾股定理，即毕达哥拉斯定理的证明。又如在苏教版必修5中基本不等式的证明均是如此。由此可见，数与形是相辅相成的，它们之间是互相促进的。在研究问题时切不可将二者孤立开来。

在利用数形结合的思想来解决问题时，有时用起来是比较自然的，关键是图形的位置关系要刻画准确。例如考察方程sinx=lgx根的个数时，直接解方程比较困难，则自然想到，可以转化为正弦函数y=sinx与对数函数y=lgx图像交点的个数。紧接着在同一坐标系中画出它们的图像，并且在画图的时候要注意到y=sinx是周期函数，其最大值是1。而y=lgx在定义域上是单调递增的，且过点（10，1），这样可以得到它们的图像有3个交点。而有的问题，数形结合的思想在题目中隐藏地比较深，此时需要具备敏锐的观察力。

例1求函数y=x2-2x+2+x2-6x+13的最小值。

该题学生很难入手，用代数方法较难解决。此时由该式的特点，可以引导学生观察该式的几何意义。为此，x2-2x+2=（x-1）2+1=（x-1）2+（1-0）2，联想到平面上两点间的距离公式，它表示点（x，1）到点（1，0）的距离。同理，后面一个式子可表示为（x，1）到（3，3）的距离。所以，原式可表示（x，1）到（1，0），（3，3）的距离之和。再结合图形，易得ymin=13。

当然，对此类题目要熟练运用，需要我们对一些公式的结构要熟练掌握。如点到直线的距离、平面上两点间距离公式、斜率公式，正余弦定理等。

二、 分类讨论

分类讨论的思想在我们高中数学解题过程中的应用也是相当广泛的，属于高考中必考的思想方法。每年高考中都会涉及有关分类讨论方面的题目。然而许多同学在解答过程中经常会出现漏解、讨论不完整的现象。当我们在碰到某个问题时，若是发现题目中包含的情况比较多，解决起来不能够一蹴而就时，此时不能束手无策，而应该想到去分类讨论。当然，我们在具体操作时关键应该思考分类的原因是什么，即为什么要去分类。还有就是按什么去分类。通俗地讲，就是要解决为什么分，怎么分的问题。从哲学的角度来讲，分类讨论思想也体现了哲学上看问题全面性的思想。当然，具体操作起来有时是蛮困难的，需要同学们在解题时逐渐去培养这种思想，提高周密严谨的数学修养，以防止做题时片面化的操作。

例2在△ABC中，设AB=（2，3），AC=（1.k）。且△ABC是直角三角形，求k的值。

该题学生若是疏忽大意的话，就会误以为角A是直角，其实题目中未明确哪个角是直角，情况并不唯一，这就是分类的原因。具体分类时则应根据A，B，C分别为直角时，分三类将直角转化为向量的数量积相乘等于零来解决即可。

此外对于一些常见的讨论问题，我们应该了然于胸，以帮助我们熟练、快速、准确地解决问题。比如说在解决含有字母的二次函数在区间上的最值问题时，要按照对称轴与区间的位置来讨论；求等比数列的前n项和时，在题目上未明确公比不是1时，则要分公比是否为1来讨论；求椭圆或双曲线的标准方程时，往往要分其焦点在x轴还是在y轴上来讨论；过点设直线时候也应该先考虑斜率是否存在。这方面的例子是不胜枚举的，需要平时多去总结积累。当然，我们在分类讨论时应做到不重复，不遗漏。有时分类讨论的标准是多角度的，应该选择合适的角度去分析解决问题。总之，我们要求学生在平时遇到讨论问题时，一定要思考：为什么要分？分类的标准又是什么？这样，才能提高他们思维的严密性和深刻性。

三、 特殊到一般

要想学好数学，还有一种重要的思想方法，即从特殊到一般的方法。用华罗庚教授的话来说，学好数学的诀窍是：善于退，大胆地退，足够地退，一直退到最原始而又不失原本的地方。这里面蕴含着非常深刻的哲理，因为很多数学题目，我们是不可能一下子就能够找到思路，给出解答的。此时就应采取以退为进的方法，先把基本的，特殊的问题搞清楚了，再去深入往往会收到意想不到的效果。比如让我们证明：任何面积等于1的凸四边形的周长与两条对角线长之和都不小于4+8，那我们应该先去研究最特殊的正方形，把正方形搞清楚了，我们就会意识到，将面积和对角线分开来看。这样一步一步逐渐地去深入，问题便能够迎刃而解。

例3已知a，t为正实数，函数f（x）=x2-2x+a，且对任意的x∈[0，t]，都有f（x）∈[-a，a]。若对每一个正实数a，记t的最大值为g（a），则函数g（a）的值域为。endprint

此题的难度较大，有的学生读了几遍之后可能还看不懂。这时候应该根据题目上的条件，即若对每一个正实数a，记t的最大值为g（a）这句话联想到特殊化的思想。先将a取特殊值1，即t为正实数，函数f（x）=x2-2x+1，且对任意的x∈[0，t]，都有f（x）∈[-1，1]，记t的最大值为g（1）。则题目中字母得到了减少。再结合图像就容易理解题目的意思，接着再思考一般的情形，就会有明确的思路了。

平时我们在做题目中，有些大題目第一问是一个特例，第二问是一个一般性的结论。我们在做后一问的时候，若是感到无从下手，则应该再看看前一问有没有帮助，第一问的解答过程有没有什么启示。有可能它们所展示的思想方法是一样的，从而帮助我们去解决问题。

此外，对于像是否存在某个字母，使得该数列成等差或是等比数列的题目，我们可以通过它的前三项成等差或是成等比来求出该字母，并进而去严格验证。可以说，这方面的例子是非常多的。即先通过一个特例将结果先确定下来，必要时再去证明。我们可以在实践中去不断地体会到它的精妙之处，它足以让我们慢慢回味。同时我们在考虑数学问题时，有时还应注意到整体性和特殊性两个方面，并在具体地审题过中不能将它们孤立开来。

四、 转换与化归

此外，转换与化归的思想在解题中的应用也很广泛。我们碰到一些陌生的新问题时，若是直接求解比较困难，往往是想方设法通过换元、代入、消元等一些具体的操作转换为我们熟悉的问题。而有时是把一些较难的问题转化成若干个简单的问题，逐个解决。解题常用的转化策略有正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、空间与平面的转化等。

例4集合M={（x，y）|x2+y2=1，x，y∈R}，N={（x，y）|x2-y=0，x，y∈R}求集合M∩N中元素的个数。

该题关键是将M∩N中元素的个数的符号语言转化为与之等价的文字语言：圆与抛物线x2-y=0的交点个数，接着在坐标系中作出它们的图像即可解决问题。

例5在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+2k+1上有两个不同的点到原点的距离为1，求k的取值范围。

此题直接做感觉无从下手，细想之后可以从题目上的后半句话着手，即点到原点的距离为1，则该点就在以原点为圆心，1为半径的圆上，而这点还在原直线上。最终就转化为了直线和圆存在公共点。问题就变为我们熟悉的题目，再通过圆心到直线的距离不大于半径来解决。

有时我们在做题时卡壳了，认真思考后，经过这么一转化，那么一化归，往往会豁然开朗。可谓是山重水尽疑无路，柳暗花明又一村。当然，要想熟练地运用转化与化归的方法，必须建立在扎实的数学基础之上。否则就宛如空中之楼阁，非常地虚无缥缈，一切都是空谈。

以上四种思想方法是高中数学常见的思想方法，而有的时候，我们在解决问题中，可能会需要综合运用多种数学思想方法才能解决问题。需要我们引导学生在平时多积累，多钻研，才能够切实提高学生的数学能力。

总之，我们教师在平时的教学过程中，应该有意识地去培养学生的数学思想，引导学生做好解题后的反思工作。找到题目中所蕴藏的思想方法。进而要求他们用数学的思想方法来武装自己，不断提高自己分析问题、解决问题的能力。这样，学生数学的核心素养才能得到有效地提高。endprint