多媒体环境下分类讨论思想在高中数学中的应用

吕阿尉

（河间市第一中学 河北 河间 062450）

1 引言

高中数学中很多板块、题目等都运用到了分类讨论思想。多媒体的优势运用到高中数学教学中，为分类讨论思想在高中数学中的应用注入了活力，本文根据分类讨论最常用到的点做了以下分析。

2 分类思想在分段函数中的应用

分段函数一般需要将函数在不同取值范围内的情况进行分类统计，而且分段函数在现实生活中也是常常会用到的，本文就以一个现实生活中用到的的例子进行分析。例1：某公司准备给参加公司活动的顾客发放爱心回馈大礼包，预计能来参加公司活动的有15～25人左右，该公司准备在A和B两家公司进行选择采购大礼包，其产品都是一致的，A公司和B公司给出的单价都是1500元/份，同时，A公司表示可以给打八五折的折扣，而B公司则表示，可以在打九折的基础上，多赠送公司一份同样的大礼包，那么，该公司选择在A公司还是B公司进行选购产品更加实惠呢？

解答：针对这个问题，我们可以先设出变量，将实际能参加活动的人数设为未知数x，而将在变量x下，实际需要支付A公司的礼品费用为Y1，实际需要支付B公司的礼品费用为Y2；

那么Y1=1500X*0.85=1275X；Y2=1500（X-1）*0.9

（1） 当 Y1=Y2时， 即 1275X=1500（X-1）*0.9，X=18，即当实际参加活动的人数为18人时，在A公司或者B公司采购产品的费用是一样的；

（2）当Y1＞Y2时，即1275X＞1500（X-1）*0.9，X＜18，即当实际参加活动的人数15＜x＜18人时，在B公司采购产品的费用更低；

（3）当Y1＜Y2时，即1275X＜1500（X-1）*0.9，X＞18，即当实际参加活动的人数18＜x＜25人时，在B公司采购产品的费用更低；

3 分类思想在分析绝对值方面的应用

含有绝对值的等式或者不等式，由于要讨论绝对值符号里面的内容什么时候为正数什么时候为负数，以方便去掉绝对值符号进行运算，所以往往这类问题一般都要用到分类讨论。下面举例加以说明：

例2：一个很简单的运算，│x-3│＜3x中x的取值范围？解答的时候就要用到分类讨论：

（1）当x＞3时，那么│x-3│＞0，可以直接去掉绝对值符合，即原公式变为x-3＜3x的解，公式变形为-2x-3＜0的解，为x＞-3/2，但是由于这个等式是在x＞3的前提下讨论的，所以当x＞3时，│x-3│＜3x公式的取值范围就是x＞3；

（2）当x=0时，0＜0，无解；

（3）当x＜3时，│x-3│绝对值里面原本是负数，就应该加负号去绝对值，即变为-x+3，就是当x＜3时，求-x+3＜3x中x的取值范围，可得到解3/4＜x＜3；

（4）综合上述中（1）（2）和（3）的讨论，x最终的取值范围就是x≥3/4且x≠3，解答完毕。

4 分类思想在函数图形中的应用

很多函数问题的解答中都要用到分类讨论的思想，引入分类讨论可以将函数问题解答起来更加简单，思路更加清晰。举一个常见的例子，例3：圆形x²+y²=4与直线y=Kx+4有几个交点？解答：首先明确x²+y²=4是原点在定点，半径为2的圆形，y=Kx+4很明显直线经过（0，4）这个点，

（1）当K=0，那么直线就是y=4，与圆没有任何交点。

（2）当k＜0，那么函数y=Kx+4是递减函数，先讨论当圆与直线相切时候，此时圆和直线只有一个交点，那么通过画图计算，圆半径是2，经过（0，4）点，而且圆和直线相切为直角，那么直线与圆的切点处半径，以及Y轴构成的直角三角形顶角是30度，那么假设直线与x轴的切点横坐标为z，根据直角三角形两边平方和等于第三边平方和，z²+4²=（2z）²，得出此时直线与X轴交点为（4√3，0）那么根据函数的两个点（4√3，0）和（0，4），可以得出直线方程k=-√3/3，由此可以得出：

①当k＜-√3/3时，直线与圆有两个交点；

②当k=-√3/3，直线与圆有一个交点；

③当-√3＜k＜0，直线与圆无交点。

（3）当k＞0，通过对（2）的分析可知，当k＞0时，是与k＜0时，关于Y轴对称的，所以通过相同的解题方法可以得出：

①当k＞√3/3时，直线与圆有两个交点；

②当k=√3/3，直线与圆有一个交点；

③当0＜k＜√3/3，直线与圆无交点。

所以综上所述：k=√3/3或者k=-√3/3时，圆与直线有一个交点；当k＞√3/3或k＜-√3/3时，直线与圆有两个交点；当-√3/3＜k＜√3/3，直线与圆无交点。分类讨论在对于函数图形之间的交差问题、交点问题、位置问题、图形本身大小等问题中会经常用到。再比如我们学习讨论圆的几种位置关系的时候，就可以用到分类讨论，比如通过圆与圆之间的半径长度以及顶点位置等，可以大致的将圆的位置分为内涵、内切、相交、外切、外含等情况。

5 分类讨论在概率问题中也经常用到

概率问题中有一些需要求的问题也是有多个组成部分构成的，需要用到分类讨论的原理。例4：一个盒子里放着写有编号的1、2、3、4、5、6、7、8、9，九个小球，从中任意挑选2个，那么选出来的两个小球上的数字之积是偶数的概率是多少？

解答：从题目可以分析，如果取出来两个奇数，那么奇数和奇数的成绩还是奇数，如果取出来两个偶数，偶数与偶数的成绩是偶数，如果取出来的是一个奇数和一个偶数，两者相乘的结果是偶数。所以此处要知道两数之积是偶数的概率，就要分类将取出来的是两个偶数以及取出来的是一奇一偶的概率相加。在9个小球之中随意抽取两个球的话，概率是，而抽出两个偶数的概率是取出一奇一偶的概率*所以最后求出的概率是

6 其他应用

在一些数学比较综合类的大题中，也经常会涉及到分类讨论，这往往是由于公式的限制、参数值在变化、条件不唯一、需要某些数学运算以确定函数的单调性和奇偶性讨论等引起的需要分类进行讨论，所以高中数学中对于分类讨论这一板块必须要引起我们足够的重视。

[1]王小慈.对高中数学课堂导入方法与技巧的思考[J].成才之路，2016年11期.

[2]王格林.谈中学数学新课的导入方法[J].课程教材教学研究.中教研究，2014年12期.