也谈“再错”现象的成因分析及对策

上海市岭南中学

刘华为 (邮编：200435)

拜读了发表在《中学数学月刊》2017年第5期上《“微探”学生“再错”背后的原因》(以下简称文[1])一文后，深受启发，特别是文[1]从教师和学生两方面对造成“再错”现象的成因进行的分析，总结出“先讲错解后讲正解所造成的前摄抑制”“读题时定音不当引发学生误解”和“重技巧与方法轻概念与思想的教学导致根基不稳”等教层面成因，以及“态度不正造成纠而不思”“读题不全引发理解歧义”和“审题不透导致理解不深”等学习层面成因，给人留下了深刻的印象．但笔者觉得上述原因只是“一错再错”现象屡屡发生的表面诱因，其背后深层次的成因却是教师“对错解成因分析不透”“纠错策略针对性不强”和“学生的纠错习惯存在偏差”等．

1 案例回顾

案例1文[1]提到对于习题“若函数f(x)=log2(x2+2ax-a)的值域为R，则实数a的取值范围是____”，学生求解时常犯“把值域与定义域混淆”之错，利用△<0(其中△为一元二次方程x2+2ax-a=0的判别式)求出-1

案例分析表面上看是学生混淆了定义域与值域致错，其真正的原因却是学生没有理解为什么“当定义域为R时要依据△<0求a的取值范围”和“当值域为R时又依据△≥0求a的取值范围”，而其背后推手就是教师“重结果轻过程”的纠错方式，只告诉学生“这样做”，至于“为什么这样做”却不作深究．也许优秀生能依靠自己的悟性无师自通，但大部分学生却只能依赖自己“超强”记忆力强记结论，时间一长由“混淆”而引发“一错再错”也就在所难免了．

如此通过层层抽丝剥茧的方法，透过现象挖掘出问题的本质，不仅知晓“错在哪里”，还明白“为什么犯错”以及“如何防错”，方能真正提升学生的纠错能力．

案例分析文[1]指出学生对“概念理解不透方法掌握不牢”是出错的主要原因，其实未必，教师在函数奇偶性概念教学时的处理失策可能才是幕后的真正推手．众所周知，函数有三要素(定义域、对应法则和值域)，其中定义域和对应法则起决定性作用．但不少教师在组织“函数奇偶性”教学时往往关注点只放在解析式推导上，对定义域为什么要关于原点对称则是“重结果轻过程”式地点到为止，忽视对其生成的探究，以致学生对处理“函数奇偶性”问题必须要从定义域和解析式两方面入手的意识不强，为犯错埋下了隐患．

纠错策略在生成“函数奇偶性”概念后，教师可通过问题“认识某一函数应从哪几个方面入手(定义域、对应法则和值域，其中值域是由定义域和对应法则决定的，因此要认识一个函数切不可忽视定义域)”“函数的奇偶性对定义域有何要求(由任意实数x必须满足f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)探究可知奇函数和偶函数的定义域关于原点对称)”驱动学生思考，并逐步认识到定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件，要判断一个函数的奇偶性必须先确定定义域是否关于原点对称．然后，通过一组类似本案例中题目的习题剖析，强化学生养成先确定定义域对称性再依据解析式变形来判定函数奇偶性的良好解题习惯，并明析依据定义域的对称性和举反例也是说明一个函数是非奇非偶函数的重要方法．

如此处理的优越性在于，定义域关于原点对称的必要性是学生依据奇偶函数的定义探究而得，并通过适量的习题强化后上升到方法的高度，必然对理解其必要性大有裨益，用起来也会更加得心应手，犯错率自然也就大大降低了．

案例分析文[1]认为“双基不稳能力欠缺”导致学生选择了“对a进行分类讨论”的繁琐方法(“分类标准既不易厘清且计算量又大”)，以致无谓失分；相反采用“图象观察法(即数形结合)”则可巧夺天工．事实果真如此吗？显然这是个分段函数的迭代式与解不等式的综合问题，通性通法就是先求出f(f(a)) 表达式再解不等式，虽然需要分类讨论，但分类依据就是分段函数定义域的划分标准，即使迭代时需二次分类，不过分类标准并没有改变，只是划分情形增多，计算量增大而已，理解上并没有难度．而运用“数形结合”思想解决本题时确有一定的优越性，但需对同一图象进行两次观察，既有违常规(直接作出目标函数图象一次观察可得)且需逆向思维，认识上有一定的难度，不易想到．更何况“数形结合”毕竟是一种技巧，无法通解一类题(因为并不是所有的情形都能画出对应图形)，过分夸大其功能，必定会产生负迁移．

纠错策略首先从通性通法入手，放手让学生尝试用基本方法求解，明确解决此类问题的常规思维起点，提升学生运用分类讨论思想解决问题的能力．

通性通法1(由里到外) 考虑到在求f(f(a))表达式的过程中需对f(a)的符号进行分类讨论，显然当a≥0时，f(a)=-a2≤0；当a<0时，由f(a)=a2+a≥0得a≤-1，所以本题需对a分下列情形讨论求解：

毋庸讳言，上述解法确有“分类繁琐”之嫌，且涉及解一元高次不等式，技巧性强计算量大．不妨以此为突破口，引导学生从“正难则反”的角度引导学生对上述方法进行优化，提升思维的品质．

本解法借助于整体思想，通过两次转化，一气呵成，不仅方法常规技巧性不强，而且计算量也不大，便于理解、掌握与运用．更重要的是有此铺垫，学生理解“数形结合”的方法就更加得心应手了．

图1

如此递进处理，不仅让学生体会了由繁到简的推进过程，感受到“数形结合”水到渠成之妙，而且还从本质上加深了知识的理解，强化了方法间的联系，优化了思维品质，极大地提升了纠错能力．应当指出的是，关于“数形结合”方法的教学务必要引领学生不但知道“怎样做”，还要知道“什么情况下才可以这样做”，避免陷入过于追求“以形助数”的误区，导致失策失分．

2 几点体会

2.1 “挖掘本质”是避免“一错再错”的前提

常规的纠错模式是教师指出几种典型错解，再统一给出正解，并通过一组类似问题强化．这是一种典型的“以错论错”处理方式，弊端是缺乏深入的犯错成因剖析，学生只知道“错在哪里”，却不知道“为什么犯错”，无法从根本上杜绝“再错”现象的发生．相反，若能象本文案例分析那样，从教法和学法上透过现象，深入挖掘问题存在的本质，找出犯错背后深层次的成因，并积极寻求改进对策，必能彻底扭转“一错再错”现象的屡屡发生，起到事半功倍之效．

2.2 “对症下药”是避免“一错再错”的抓手

学生犯错的原因五花八门、因人而异，纠错时只有“对症下药”，方能力求“药到病除”．有的是书写规范性问题，导致看错数字或字母甚至看错位置引发错误，则需从养成良好书写习惯入手，改掉字迹潦草和做事毛糙的坏毛病；有的是审题不透问题，只知其一不求其二，则需从培养“解后反思”的良好思维习惯入手，学会用“数学脑子做数学题”，加强思维深度的训练，确立三思而后行的良好审题意识，改掉“一看就会一做就错”的眼高手低的陋习；有的是知识理解有偏差或缺失，则需针对性地个别辅导补缺补漏；有的是教学失策留下的隐患，则需象本文案例回顾中的“纠错策略”那样处理，从根本上消除学生犯错的隐患……

关于纠错，笔者最大的体会是:订正作业一定要面批．对于典型错误一定要让学生“说错”，即说明“错在哪里”“为什么犯错”“正解思路是什么”“应该怎样想”和“同一类型如何避错”，力求知其然更要知其所以然，从而有效防止“再错”现象的发生，甚至防患于未然．

2.3 “养成良好学习习惯”是避免“一错再错”的保障

不少老师和同学偏爱把错误归咎于“粗心”，似乎稍加留心，错误就可完全避免．殊不知，这只是表象，真正的根源在于平时未能养成良好的学习习惯，因此从培养学生良好的学习习惯入手，才是避免“一错再错”现象屡屡发生的根本保障！当然，良好的学习习惯涵盖内容甚广，如课前预习、认真听课、巧记笔记、及时巩固、独立作业、规范解题、大胆质疑、勇于反思等，各种习惯间又相互交融，也与“再错”现象屡屡发生有着千丝万缕的联系，其养成必能极大地有效遏制“再错”现象的发生概率．值得注意的是，这些习惯的养成不可能一蹴而就，而要做好长期渗透的谋划，力“润物细无声”之妙也．

笔者就借助用活页纸记笔记培养学生善于系统归类整理笔记的良好习惯，即要求学生抛弃硬面抄笔记本，改为用活页纸记笔记，且是一纸一类(同一张纸上只记同一类问题，甚至一纸一问题)，再借助于活页纸的可移动性，把在不同时期遇到的同类问题或某系列问题进行归类整理，便于系统化理解、反思与吸收．如忽视分类讨论致错就是各类考试中学生失分的重灾区，常有防不胜防之感．但笔者借助于活页纸整理错题集的做法，由于可以把不同时期收集的分类讨论错题，经过移动按同一类型与分类标准进行系统整理，并定时反思，吃透分类的依据，起到温故而知新之妙，从而极大地减少了因忽视分类致错的概率．

总之，“再错”是难免的，但屡屡发生就值得教师从教与学两方面进行反思，并积极寻求对策，力求做到“亡羊补牢犹未晚矣”．